系统数学建模

课程目的

学会运用数学模型和数学建模来解决问题
欣赏一些数学模型的例子
从数学建模的角度加深对科学的理解

学习数学建模的层次

知道一些前人构建好的模型
用一些前人构建好的模型来解决问题
构建模型来解决问题
前两个叫“数学模型”，后者叫“数学建模”

学习数学建模的方法

赏析前人建模的过程和其中的思维
建中学，体验着或者创造着
不通过集邮票（模型）
是一个挑战

为什么学习数学建模

构建世界在大脑中的表示（模型）是一类认识世界的方式
- 科学是给世界构建可计算的模型，可证伪尚未被证伪
- 科学就是讲道理，通过建模、计算、实验
- 只要是企图指导实践的，都得是科学
建模过程中体现了大量的高层知识生成器

课程大纲

什么是模型
什么是数学模型
理解型学习学什么怎么学
为什么要数学建模
如何构建数学模型

模型和数学模型

模型是大脑中对世界（的某些对象的某些属性）的一个表示
表示：外界对对象做什么，以及反过来，可以做在这个表示上
数学模型：把“做什么”变成对这个表示的计算

理解型学习学什么怎么学

知识的联系和层次
科学大图景
理解型学习

知识的联系

知识之间是相互联系的
- 从数和数数到加法到乘法
- 平面几何知识体系
可能是因为知识所描述的事物有联系
可能是大脑（$7\pm 2$）需要通过联系来认识世界

知识的层次

事实性程序性知识
学科概念
学科大图景
一般性人类思维，教和学的方法

知识的层次

学科大图景

典型研究对象
典型研究问题
典型思维方式
典型分析方法
和世界以及其他学科的关系

理解型学习

以高层知识生成器为目标
上下左右贯通
- 从创造体验式学习具体知识体会学科大图景
- 从把大图景用于问题提出和解决体会大图景

数学学科大图景

从研究数和形到研究关系
对关系做计算（推理），成为场景应用模板
知识的系统性、看到一阶二阶三阶相似性
公理化体系、证明、数学四步、数学四问
和世界以及其他学科的关系
- 用来表达思考和思想
- 用来描述世界

数学四步

提出问题
建模，把问题转化为数学问题（提出和运用数学概念）
求解数学问题（发明或者运用解法）
检验答案，系统化模型、概念、解法

数学四问

这个场景里面有哪些主要因素（What）
这些因素之间是如何相互联系的（How）
这些联系是如何用数学结构来表达的（How）
为什么这些因素是主要的，这些联系为什么用这些结构来表达（Why）
这思路怎样？还有其他的思路吗？求解出来的答案对吗？（Meaningful）

数学和数学建模

数学建模：用数学结构描述世界
数学建模启发数学概念的提出
做中学
- 在数学建模中提升对数学概念的理解
- 在数学建模中提升对数学四步、数学四问的理解

科学和数学建模

科学是建立世界的可计算的模型
算出来的结果和对世界的测量结果相符
批判性思维、系联性思考（分解和综合）
系统性：尽可能少的假设和概念，尽可能多的现象

数学建模本课程

从欣赏前人的画作和绘画的过程中学会画画
从欣赏前人的数学模型和建模的过程中学会数学建模
集邮票不可能成为科学家
谨慎选择很多集邮票课程和书

对比一般数学模型课程

一般数学模型课程和书
- 按照数学工具对模型分个类
- 每一类定义模型、求解方法、应用举例，求解练习
- 每一类下面，再按照求解方法分类，形式化语言定义，举例子用一下
  - 例如，优化模型（无约束问题、线性规划问题）
- 旨在知道这些模型，可以套用
这门课：从构建数学模型的过程和经验中学会建模

理念部分小结

数学建模启发数学发展
数学建模运用数学结构
数学建模帮助理解数学结构
数学建模是科学的核心分析方法
数学建模是
- 广义上数学四步
- 狭义上数学四问

建模中学会建模

一些例子
例子的总结
学会欣赏和建模
有一些数学计算
- 做到尽量能算
- 不能算的时候，看懂在干什么，也够了

数学建模实操步骤

提出问题
把问题数学化
- 区分系统和外界
- 有哪些东西，东西之间什么关系，关系的数学表示，已知和未知
- 提出假设，写下假设的数学表达
求解数学问题
实验检验，反复这四步
假设、概念、计算、结论的系统化

小结的概念地图

什么是数学建模

如何学习数学建模

从白马非马看数学建模

白马非马的含义
白马非马的数学表达
哪里体现了数学建模

白马非马的含义

白马的整体不等于马的整体，对
白马不是马的一种，错
一匹白马不是马的一匹，错

白马非马的数学表达

$\left\{WH\right\}\neq \left\{H\right\}$，对
$\left\{WH\right\}\not\subset \left\{H\right\}$，错
$WH \not\in \left\{H\right\}$，错

白马非马哪里体现了数学建模

数学是思维的语言
数学建模就是把自然语言所表达的思考转化为数学表达式
只有把意思说明白才有对还是错

数学公式能说话

一个在行走的车的速度随时间的变化$\vec{v}\left(t\right)$已知
对比$\int \vec{v}\left(t\right)dt$, $\int v\left(t\right) dt=\int \left|\vec{v}\right|\left(t\right) dt$
看看$\frac{\int \vec{v}\left(t\right) dt}{\int v\left(t\right)dt}$的含义
那$\int \dot{\vec{v}}\left(t\right) dt$和$\int \left|\dot{\vec{v}}\right|\left(t\right) dt$的含义呢？
$\frac{\int \dot{\vec{v}}\left(t\right) dt}{\int \left|\dot{\vec{v}}\right|\left(t\right) dt} $呢？

数学公式能说话

位移，路程
效率
速度差，加速过程累计（晕车）
加速效率

从数学公式和语言看建模

数学建模就是在数学公式和语言之间做翻译
有思想和思考，表达为数学公式
有现实世界，描述为数学结构
有数学结构，找到对应的思想和思考以及现实的含义

从七桥问题看数学建模

哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题
欧拉（Euler）的回答
图论和网络
哪里体现了数学建模

哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题

哥尼斯堡有七座桥联通着四块陆地
有一个很闲的人，希望在散步的时候把每座桥都走并且只走一遍，请问他要怎么走

欧拉（Euler）的回答

在每一块陆地之内怎么散步跟这个问题没关系
把每个区域看做一个点
再留下每一对区域之间有几座桥这个信息

欧拉（Euler）的回答

可以一笔画，则除了开始和结束的点，其他顶点必须经过偶数次
度的概念
可以有$0$个或者$2$个度为奇数的顶点
计算一下每个顶点的度：$3$、$5$、$3$、$3$，不能

欧拉（Euler）的回答

忽略掉大量的细节
只保留顶点和连边
计算度
得到定理

图论和网络

这个包含顶点和连别的数学对象进一步发展成为网络
研究这个对象的学科发展成为图论和网络
在大量的问题中，往往仅仅考虑事物之间是否有联系，就包含了很多的信息

七桥问题哪里体现了数学建模

简化掉“不重要”（？）的细节
重要与否看问题是否解决
提出新的数学结构
发展成为新的学科分支

从性别战看数学建模

性别战现象
性别战的博弈模型
哪里体现了数学建模

性别战的现象

每一方有各自自己喜欢的东西，不同
双方都喜欢和对方待在一起
实际上往往会一方习惯妥协

性别战的科学问题

为什么往往一方妥协
人们会如何决策
决策过程如何用数学模型描述
其他博弈场景是否可以用类似的数学描述

性别战的数学模型

每种选择组合每一方的效用固定
通过合理假设简化问题
- 只有两个选择——戏剧（女）和篮球（男）
- 对称的收益函数：男生喜欢篮球的程度和女生喜欢戏剧的程度相当

数学化

双方都喜欢和对方待在一起 $U^{i}\left(O,B\right)=U^{i}\left(B,O\right)<U^{i}\left(B,B\right)$
每一方有各自自己喜欢的东西：$U^{M}\left(B,B\right)=U^{F}\left(O,O\right)>U^{M}\left(O,O\right)=U^{F}\left(B,B\right)$

求解

有两个解
完全公平下，问题无解
必须协商，可以被威胁

总结推广

模型、求解方式、结论都可以推广
其他现象和模型
- 斗车，为什么需要交规
- 海滩上的烧烤店为什么聚在一起
- 中间选民和中间候选人
- 囚徒困境

性别战哪里体现了数学建模

现象、假设、数学建模、求解、解的含义
可以用很简单的数学描述复杂的社会现象
更一般的决策和博弈如何建模？

从虫口模型看数学建模

虫口变化现象
从简单模型到复杂模型
用于保险业的人口模型
哪里体现了数学建模

简单虫口模型

考虑细菌的繁殖
通常一段时间内一个变两个（考虑死亡率？）
也就是$N\left(t\right)=a N\left(t-1\right)$，得到$N\left(t\right)=N_{0}a^{t}$
最简单的虫口模型
连续时间版本：$\frac{d}{dt}N\left(t\right)=rN\left(t\right)$，得到$N\left(t\right)=N_{0}e^{rt}$

复杂虫口模型

长期要么完全消失要么无穷多个
是不是$r=r\left(N\right)$，甚至$r=r\left(N,t\right)$？
前者内部竞争，后者包含环境改变
例如，$\frac{d}{dt}N\left(t\right)=k\left(N_{c}-N\right)$，空间和资源竞争
例如，$\frac{d}{dt}N\left(t\right)=k_{1}N-k_{2}N^2$，种内竞争

求解复杂虫口模型

$\frac{d}{dt}N\left(t\right)=k\left(N_{c}-N\right)$具有不动点$N\left(t\right)=N_{c}$
当$N\left(t\right)=N_{c}+\delta$的时候，$\frac{d}{dt}\delta=-k\delta$
于是，$\delta=\delta_{0}e^{-kt}$衰减
最终趋近$N_{c}$
不动点和稳定性分析可以推广到$\frac{d}{dt}N\left(t\right)=k_{1}N-k_{2}N^2$

更复杂虫口模型

不同期的虫子繁殖能力和死亡能力不一样
考虑虫子性别？
$N_{0}\left(t\right)=\sum_{j}r_{j}N_{j}\left(t-1\right)$
$N_{i}\left(t\right)=\left(1-d_{i-1}\right)N_{i-1}\left(t-1\right)$
写成$\vec{N}\left(t\right)=A\vec{N}\left(t-1\right)$
得到矩阵$A$用于寿险，要求$A$不太依赖于时间

更更复杂虫口模型

$A$依赖于时间，年内年间出生/死亡率-时间
男性女性分别建模
男性女性婚姻也建模
甚至考虑非婚生子

虫口模型哪里体现了数学建模

从简单到复杂，每次可以包含更多的因素
可以持续修改，如果问题解决需要
模型、解法、参数、结论都可以推广
建模目的和建模人掌握的数学结构决定了模型

数学建模是盲人摸象

总得摸，才有整体
甚至需要“完备的”整体吗？
决定模型的因素
- 建模的目的
- 对系统的了解程度，经验和数据
- 数学结构
- 建模能力和习惯
在能解决问题的条件下，越简单越好

从单摆周期公式看数学建模

问题边界和内部变量

单摆问题有哪些变量
- 摆长$l$
- 摆球质量$m$
- 周期$T$
- 最高点位置或者角度$\theta_{0}$
- 最低点速度$V_{max}$
- 重力加速度$g$（？）
假设摆长不变（为什么？）

量纲分析得到单摆周期公式

独立且足够的变量选择：$l, m, \theta_{0}, g$（？）
$T=F\left(l, m, \theta_{0}, g\right)$
来看单位
- $\left[l\right]=m$, $\left[m\right]=kg$，$\left[\theta_{0}\right]=1$，$\left[g\right]=m/s^2$，
- $\left[T\right]=s$
为了单位正确，必须保证$T=\sqrt{\frac{l}{g}}f\left(\theta\right)$

单摆周期公式，小结

确定一个系统包含哪些主要因素
- 找到独立且足够的变量，就解决了问题的一半
- 尤其是当用上量纲定理的时候
找到独立且足够的变量需要对问题认识深刻

从优化问题看数学建模

篱笆圈地问题
单个厂商问题
两个厂商问题
哪里体现了数学建模

篱笆圈地问题

来源于美国西部开发跑马圈地背景
你已经有一批篱笆材料
圈起来多少地，都是你的
你怎么圈

问题数学化

假设你想圈起来一个长方形（好跟邻居分清楚边界）
假设那地方大得很，均匀
长方形只需要两个变量描述：长$l$，宽$w$
圈起来多少地由面积表示$S=lw$

问题数学化

假设篱笆材料厚度、宽度（已经包含缝隙）不可更改
如果篱笆缝隙需要优化，则另外再建一个模型
篱笆总长度由周长描述：$C=2l+2w$
合起来
- 目标函数：最大化$S=lw$
- 约束：$2l+2w\leq C$

求解数学问题

定义$U=lw+\lambda\left(2l+2w-C\right)$
计算偏导数
- $\frac{\partial U}{\partial l} = w +2\lambda$
- $\frac{\partial U}{\partial w} = l +2\lambda$
- $\frac{\partial U}{\partial \lambda} = 2l+2w -C$
联合求解所有偏导数等于零的方程，得到$l=w=\frac{C}{4}$

圈地问题检验总结反思

检验和总结跳过
反思，这就是最好的方式了吗？如果我们突破之前的那些假设呢？
比如，不再限定长方形
比如，有山水，导致表面积、地理条件不同

圈地问题检验总结反思

背景信息：地形$z\left(x,y\right)$
决策变量：$\vec{r}\left(\theta\right)$一个圈的函数
目标函数：最大化圈起来的表面积$S\left[\vec{r}\left(\theta\right)\right]$
约束：篱笆总长度$C\geq C\left[\vec{r}\left(\theta\right)\right]$
先能够知道哪些变量是不可忽略的也是好的

单个厂商问题

考虑一个在决定产品价格（$p$）和数量$q$的企业
给定价格$p$，市场会决定总购买数量$Q\left(p\right)$
给定数量$q$，市场会决定购买价格$P\left(q\right)$
假设成本为$c$
收益为$U=Q\left(p\right)\left(p-c\right)$、$U=q\left(P\left(q\right)-c\right)$
- $q=Q\left(p\right)$多了没意义
- $p=P\left(q\right)$单边贵了没人买（？）

单个厂商问题

求最大化收益$U=Q\left(p\right)\left(p-c\right)$的价格
$\frac{dU}{dp}=Q^{\prime}\left(p\right)\left(p-c\right)+Q\left(p\right)$

几种$Q\left(p\right)$和求导数

假设$Q\left(p\right)=Q$，刚需，则$\frac{d}{dp}>0$，卖合法的最高的价格
假设$Q\left(p\right)=\frac{M}{p}$，钱总量确定，垄断，则$\frac{dU}{dp}=-Mp^{-2}\left(p-c\right)+Mp^{-1}=\frac{Mc}{p^2}>0$，卖合法的最高的价格

几种$Q\left(p\right)$和求导数

假设$Q\left(p\right)=\frac{M}{p^{1+\gamma}}$，衰减更厉害，则$\frac{dU}{dp}=-\left(1+\gamma\right)Mp^{-2-\gamma}\left(p-c\right)+Mp^{-1-\gamma}$
- 当$p=\frac{1+\gamma}{\gamma}c$时，导数为零，取极（大）值
- 说明，稍有竞争时，确实会有一个“均衡”（最合适）价格
把$q$当自变量重复以上分析？

单个厂商结果小结

$Q\left(p\right)=\frac{M}{p^{1+\gamma}}$，$\gamma=-1$刚需，$\gamma\leq 0$垄断，卖最高价
竞争或者其他原因导致的购买数量下降更快，$\gamma>0$，则有一个均衡价格
具体函数形式另说，定性结论具有一般性
简单模型的威力
可以类似分析$P\left(q\right)$（数量为自变量），略
接着，我们来考虑竞争

两个厂商问题

考虑两个在决定产品价格（$p_{1}, p_{2}$）和数量$q_{1},q_{2}$的企业
给定价格$p_{1}, p_{2}$，市场会决定总购买数量$Q_{i}\left(p_{1}, p_{2}\right)$，例如$Q_{i}=Q\theta(p_{j}-p_{i})$
给定数量$q_{1}, q_{2}$，市场会决定购买价格$P\left(q_{1}+q_{2}\right)$（假设产品无差别）
假设成本为$c_{1},c_{2}$
收益为$U_{i}=Q_{i}\left(p_{1}, p_{2}\right)\left(p_{i}-c_{i}\right)$、$U_{i}=q_{i}\left(P\left[q_{1}+q_{2}\right]-c_{i}\right)$

价格当自变量的模型

$\frac{dU_{1}}{dp_{1}}=-Q\delta(p_{2}-p_{1})\left(p_{1}-c_{1}\right)+Q\theta(p_{2}-p_{1})$
当$p_{1}<p_{2}$，$\frac{dU_{1}}{dp_{1}}>0$，提高价格
当$p_{1}>p_{2}$，$\frac{dU_{1}}{dp_{1}}=0$，提高降低都没用
除非降低到$p_{1}=p_{2}$并且$p_{1}>c_{1}$，$U_{1}$从零变成正数
小结：厂商1在保证$p_{1}>c_{1}$的条件下尽可能$p_{1}\leq p_{2}$
第二个厂商有平行的决策过程和结果

价格当自变量的模型小结

厂商1在保证$p_{1}>c_{1}$的条件下尽可能$p_{1}\leq p_{2}$
厂商1在保证$p_{2}>c_{2}$的条件下尽可能$p_{2}\leq p_{1}$
如果$c_{1}=c_{2}=c$，那价格刚好就是$c$
成本更低的那个占领全部市场，价格等于高的那个成本
一旦真的形成垄断，则回到上面的模型

价格当自变量的模型的反思

产品可能有差异
地域覆盖可能有差异
购买有其他附加价格（运输等）
两家可以约定价格，实现“联合垄断”
有其他厂商

数量当自变量的模型

决策变量是$q_{1},q_{2}$
价格是共同市场决定的$p_{1}=p_{2}=P\left[q_{1}+q_{2}\right]$（单边贵了没人买）
求导数，算极值

数量当自变量的模型：确定价格

$\frac{dU_{1}}{dq_{1}}=\left(P\left[q_{1}+q_{2}\right]-c_{1}\right)+q_{1}P^{\prime}\left[q_{1}+q_{2}\right]$
$\frac{dU_{2}}{dq_{2}}=\left(P\left[q_{1}+q_{2}\right]-c_{2}\right)+q_{2}P^{\prime}\left[q_{1}+q_{2}\right]$
$P\left[q_{1}+q_{2}\right]=P$确定的政府收购价格，则$c_{i}<Q$的厂商不断生产
$P\left[q_{1}+q_{2}\right]=\frac{M}{q_{1}+q_{2}}$

数量当自变量的模型：确定钱总量

$P\left[q_{1}+q_{2}\right]=\frac{M}{q_{1}+q_{2}}$，预算必须花完
先假设$c_{1}=c_{2}$，则两方程完全对称，$q_{1}=q_{2}$
$0=\left(\frac{M}{2q}-c\right)-q\frac{M}{4q^2}$
得到$q^{*}=\frac{M}{4c}$
$p^{*}=2c$（试试算算三个厂商的情况）

数量当自变量的模型：确定钱总量

假设$c_{i}=c+\Delta_{i}$，$q_{i}=q+\delta_{i}$，保留到线性项
$-2\Delta_{i}q^{*}-\delta_{i}\frac{M}{2q^{*}}=0$
$\delta_{i}=-\Delta_{i}q^{*}\frac{4q^{*}}{M}=-\frac{\Delta_{i}}{c}q^{*}$
成本增加，数量减少，比例系数为$\frac{\Delta_{i}}{c}$

数量当自变量的模型小结和反思

由市场价格随着产品总量的变化函数决定，给出了方程
对于确定价格情形，成本低于价格的厂商无限生产
对于确定钱总量情形
- 如果成本相同，则价格为$2c$
- 如果成本离均值为$\Delta_{i}$，则数量的偏离$\delta_{i}=-\frac{\Delta_{i}}{c}q^{*}$
注意其中的各条假设

两厂商模型小结

模型很粗糙
结论有一定道理和启发性
- 除了垄断、刚需、固定收购价格等特殊情况，只要有竞争，基本上有一个最优价格和数量
这几个模型历史上促进了经济学的发展
- 价格当自变量的模型，Bertrand模型
- 数量当自变量的模型，Cournot模型

优化模型哪里体现了数学建模

简化假设导致模型很粗糙不怕
一步步考虑更多因素跟一般情况就性
优化理论的数学——目标函数、约束、偏微分（Lagrangian乘子法）、线性近似——很有用
建模一般步骤：设定系统的边界，找到内部变量以及变量之间的关系，提出假设，变成数学问题，求解数学问题，检验、系统化

从数和运算取决于对象

自然数$1,2,3,4,5,\cdots$有不同的作用
记号作用，例如每个人一个编号
序号作用，编号本身有内在含义，例如难度、先来后到
描述大小作用，需要统一的大小单位

数的作用需要看所描述对象之间的关系

例如，一篮子苹果
数只能做记号
如果苹果按照大小排列记号遵从这个顺序，则还可以做序号
如果每个苹果的大小间隔相同（这个非常不可能），则还可以算加法

课文之间的关系

例如，一本教科书里面的课文
数只能做记号
如果论文按照难度排列记号遵从这个顺序，则还可以做序号
如果每篇课文的难度间隔相同（这个非常不可能），则还可以算加法
但是，可以单纯看页码

教材页码之间的关系

页码之间有内容上的联系，哪几页属于某一篇
但是，一般来说，也就“查页码”的作用
查页码的时候，数只当做记号
查的过程其实也用到页码本身的顺序，序号
这个顺序的意义仅仅是把每一页看做一个相同的单位的前后，没有内容上的前后，原则上可以瞎印内容
如果仅仅关心印刷成本，多厚，则还可以算加法

数、运算和对象的小结

数用来做什么能做什么，都取决于所描述的对象之间的关系
纯粹的对象，数可以当记号
对象之间可比较，可以当序号
对象之间有某种固定间隔，数可以参与加法

数、运算和对象小结

任何数学结构（描述了什么可以用来描述什么）都是由关系决定的
将来，对象和关系，用集合和映射的语言描述
数学就是研究有事物之间关系导致的（往往具有某种共性的）结构
我们学会结构用到具有类似关系的地方
我们基于关系提出新的数学结构

数、过程、运算和封闭性

从自然数到整数、分数、小数、无理数、虚数
为什么要求有封闭性
从状态到过程（极限）
变成过程的意义，$\frac{px}{x}\rightarrow \frac{0}{0}$能算吗？
- 速度的例子
- 苹果价格的例子

从整数到有理数

从自然数到整数，减法，负数和$0$
从整数到分数，平均分，换单位，除法
从分数到循环小数，计算
从整数到（循环）小数，换单位

循环小数是分数

$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$
$1=0.\dot{9}$
循环小数是过程
循环小数是分数，分数是循环小数
分数包含整数，整数包含自然数
$3.1=3.1\dot{0}$

有不循环小数吗

前面已经证明了有，例如$\sqrt{2}$
再举一个例子，$\pi$
知道了$\pi$怎么算之后
- 证明$\pi>3.10$
- 试着找一个$\sqrt{2}$的逼近计算的方法

证明$3<\pi<2\sqrt{3}$

$6r=C^{<}<2\pi r<C^{>}=4\sqrt{3}r \Longrightarrow 3<\pi<2\sqrt{3}\approx 3.464$

不断逼近$\pi$的方法

用圆的内接和外切正多边形，$n$越大越接近
据说，祖冲之也是这样算的
永远也不会结束，但是会越来越准确

数是过程

循环小数是过程
不循环小数是过程
一个表示和所表示的对象越来越接近，那么表示就是对象
把数理解为过程，为将来“极限”的概念做好准备

实数封闭了吗？

加减乘数对于有理数是封闭的
开方之类的，圆的面积周长，需要无理数
实数对于“越来越接近”是封闭的
负数的开平方需要虚数$\sqrt{-1}=i$
描述现实和思考中会需要虚数吗？会，量子力学

为什么要求有封闭性？

数学是思维的语言
数学是描述世界的语言
只要我们能够对思想和世界中的对象做什么，则我们的数学结构就要提供好什么
这就是封闭性的来源，如果不封闭，则发明新的数学

回到数学是什么

哪些地方体现了数学是思维的语言
哪些地方体现了“严密证明”这个数学典型思维方式
哪些地方体现了数学知识的系统性：有联系，从少数概念和假设建构整体
哪些地方体现了数学和科学的关系
- 数学为科学提供描述世界的结构
- 科学启发数学提出新的结构
数学是研究结构的学科

回到数学建模

对象之间的关系决定了适用的数学结构
有，就用它
如果现在还没有，则创造它
积累一些现有数学结构，达到深刻的认识，为建模做准备

天体运动的数学模型

地心说和日心说
天体状态的数学结构
运动状态变化的数学描述

天体运动的数学模型

地心说和日心说

Claudius Ptolemaeus 和地心说的本轮均轮模型（Fourier级数）
Kopernik 基于观测和计算提出(发展)了日心说的猜想
Tycho Brahe的检验，大量的非常细致的天文观测

天体状态的数学结构

忽略了天体的大小和形状（？）
主要看相对于某个中心的距离和角度
以及其时间序列
这就是模型：用$r\left(t\right), \theta\left(t\right)$或者说$\vec{r}\left(t\right)$描述天体状态

天体状态的数学结构

地心说、日心说也是数学模型：同一个运动的不同$\vec{r}\left(t\right)$的描述
实验检验：先做测量，再看是否准确
美：对简单性的追求
更进一步：希望为什么这样运动也有一个自洽的解释

运动状态变化的数学描述

Newton发明了微积分和微分方程来描述运动
用$\vec{F}=m\vec{a}$和$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$可以给出
- 怎么动
- 为什么这样动
忽略了其他天体的影响（？）

经典客体空间运动的模型

矢量$\vec{r}\left(t\right)$描述状态
微分方程$\vec{F}=m\vec{a}$和力$\vec{F}\left(\vec{r}, E\right)$描述状态变化的原因

天体运动的数学模型，小结

模型总是一种简化，抓住主要因素及其关系
把假设明确出来
找到现实对象的状态的数学结构
数学四步和数学四问
数学就是你需要它的时候去创造它

科学和数学

数学建模促进了数学的发展
数学建模促进了科学的发展

经典随机性客体的模型

硬币的状态：正、反
对硬币的操作：不动，翻转、测量
数学模型：$\rho=p\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right| + \left(1-p\right)\left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$
- “$\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right|$”的含义就是“向上态”
- “+”的含义就是“或者”
翻转和测量呢？

经典随机性客体的模型

不动：$\rho=I\rho I^{\dagger}$，$I=\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right| + \left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$
翻转：$\rho=X\rho X^{\dagger}$，$X=\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right| + \left|\downarrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right|$
测量：例如，$\left\langle O \right\rangle = tr\left(\rho O\right)$，其中$O=\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right| - \left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$
符号计算规则（矩阵乘法）：$\left\langle \mu \right|\left.\nu\right\rangle=\delta_{\mu\nu}$，相同为$1$，不同为$0$

随机客体数学计算演示

可以验证不动、翻转、测量的结果
- 在状态测量：$\rho$上，测量$O$，预期得到$\left\langle O \right\rangle = 1\cdot p + \left(-1\right)\cdot \left(1-p\right) = 2p-1$
- 实际计算得到$\left\langle O \right\rangle = tr\left(\rho O\right)=1\cdot p + \left(-1\right)\cdot \left(1-p\right) = 2p-1$

试试另一次测量

正面$10$元，反面$1$元呢？
$O=10 \left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right| + 1 \left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$
$\left\langle O \right\rangle = tr\left(\rho O\right)=10\cdot p + 1\cdot \left(1-p\right) = 9p+1$
完全和预期以及实验吻合

单次测量

每一次只看到正面或者反面
看到之后，硬币的状态就是看到的状态
多次测量才会回到上面算出来的平均值

经典随机性客体的模型小结

对象上的操作集合
对象状态和操作的可计算模型
顺便，经典概率分布和经典测量是对角矩阵

模型、数学模型和表示

模型是大脑中对世界（的某些对象的某些属性）的一个表示
表示：外界对对象做什么，以及反过来，可以做在这个表示上
数学模型：把“做什么”变成对这个表示的计算
给世界寻找或者提出最合适的数学结构
给数学结构找到实际对象

漏水瓶探测的数学建模

一个包里面有若干个水瓶
每个水瓶都有蒸发损失
有的包里面会有一个是漏的（只考虑一个？）
有两个时间点的每个水瓶的水量测量数据
能不能知道哪些包有漏水瓶

背景知识

大概来说，每个水瓶的损失是$V_{T,i}=V_{0,i}-T\gamma_{i} + \xi_{i}$
初始水量、时间长度会略有差异
损失速率有一个水瓶比较大，其他几个水瓶之间相差不大

假设

记漏水瓶为$1$号，则$V_{T,1}=V_{0}-T\gamma_{1} + \xi_{1}$
其他水瓶为$V_{T,i}=V_{0}-T\gamma_{2} + \xi_{i}$
假设各个水瓶的时间长度、初始水量，以及正常水瓶的损失率，都差不多
或者说，把初始水量差、损失率差、时间长度都放到了随机数里面

运用水瓶编号的情况

$V_{T_{1},i}-V_{T_{2},i}=\left(T_{2}-T_{1}\right)\gamma_{i} + \xi_{i,T_{1}}-\xi_{i,T_{2}}$
忽略随机数（注意有条件），得到$\gamma_{i}=\frac{V_{T_{1},i}-V_{T_{2},i}}{\left(T_{2}-T_{1}\right)}$
对比一下各个水瓶的$\gamma_{i}$

对比$\gamma_{i}$

假设正常水瓶数量远远大于异常的量
对算出来的$\gamma_{i}$做统计：分布函数，均值、方差
根据某个百分比来选择一个阈值
对分类之后的水瓶做验证性检测，更长时间
根据检测结果计算超杀和漏杀率
问题成为：缩小$\xi$，寻找$T$的最小值，使得超杀和漏杀率、成本都比较小

进一步的数学模型

缩小$\xi$的检测方式的成本
增加$T$的成本
超杀和漏杀的代价
各种成本放在一起，做一个优化

换一个指标

不需要知道水瓶对应编号的情况
计算包装内统计量$\delta^2=\sum_{i<j}\left(V_{T,i}-V_{T,j}\right)^2$
异常包：$\Delta^2=\sum_{1<j}\left(V_{T,1}-V_{T,j}\right)^2+\sum_{1<i<j}\left(V_{T,i}-V_{T,j}\right)^2$ $=\sum_{1<j}\left(T\left(\gamma_{1}-\gamma_{2}\right)\right)^2+\sum_{1<i<j}\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right)^2$
正常包：$\delta^2=\sum_{i<j}\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right)^2$
只要$\Delta^2\gg \delta^2$，就可以识别异常包

对比$\gamma_{i}$

假设正常水瓶数量远远大于异常的量
对算出来的$\delta^2$做统计：分布函数，均值$\left\langle \delta^2 \right\rangle$、方差$\left\langle \sigma_{\delta^2} \right\rangle$
根据分布函数选择一个阈值，$\Delta^2>\left\langle \delta^2 \right\rangle+3\left\langle \sigma_{\delta^2} \right\rangle$
对分类之后的水瓶做验证性检测，更长时间
根据检测结果计算超杀和漏杀率
再做一遍优化问题

漏水瓶问题小结

数学模型基于一些看起来还算合理的假设
是否真的合理，需要实验检验（不考虑成本，只看科学性）
工程问题需要考虑实现，阈值的选择，统计分析，检测时间和条件的选择
工程问题需要考虑各种成本，机制模型完成之后，往往还需要一个成本优化模型

漏水瓶拓展为电池

考虑一个有结构的电池
其结构决定了最大容量$Q_{max}=Q_{max,0}+\xi_{1}$和电容$C=C_{0}+\xi_{2}$
初始充电状态决定于$Q\left(0\right)=\left(\eta_{0}+\xi_{3}\right)Q_{max}$
随着时间会发生一些结构变化$Q\left(t\right)=F\left(Q\left(0\right),t, \theta_{1}\right)$，$C\left(t\right)=G\left(C\left(0\right),t, \theta_{2}\right)$
合起来决定了$V\left(t\right)=\frac{Q\left(t\right)}{C\left(t\right)}=H\left(Q_{max,0}+\xi_{1}, C_{0}+\xi_{2}, \eta_{0}+\xi_{3}, \theta_{1}, \theta_{2}\right)$
其中$\theta_{1}, \theta_{2}$也包含随机变量

卷线轮问题的数学建模

匀速转动的卷线轮线的被卷进速度在增加
- $\theta=\omega t$
- $r=\frac{d}{2\pi} \theta$（稍后推导）
- $v=\omega r = \frac{d}{2\pi}\omega^2 t$
- $a=\dot{v}=\frac{d}{2\pi}\omega^2$
只要$\omega<\omega_{0}=\sqrt{\frac{a_{0}2\pi}{d}}$就可以不断
问：控制$\omega\left(t\right)$让这个力更小？

变角速度卷线轮

$L=\int_{0}^{t}\omega\left(\tau\right)r\left(\tau\right)d\tau$
$\pi r^2=Ld$（这是近似，无缝，最后一圈周长可以用最大的半径算）
合起来得到$\omega\left(\tau\right)\rightarrow r\left(\tau\right)$

变角速度卷线轮

$L=\int_{0}^{t}\omega\left(\tau\right)r\left(\tau\right)d\tau$
$2\pi r\dot{r}=\dot{L}d=\omega r d \Rightarrow \dot{r}=\frac{d}{2\pi}\omega \Rightarrow r=\int^{t}_{0}\frac{d}{2\pi}\omega\left(\tau\right)d\tau$
$v\left(t\right)=\omega r =\omega\left(t\right)\int^{t}_{0}\frac{d}{2\pi}\omega\left(\tau\right)d\tau$
$\dot{v}=\dot{\omega}\int^{t}_{0}\frac{d}{2\pi}\omega\left(\tau\right)d\tau + \frac{d}{2\pi}\omega^2$

变角速度卷线轮

$\ddot{\theta}\theta + \dot{\theta}=0$
求解得到$\omega=k_{1}\left(k_{2}+t\right)^{-\frac{1}{2}}$
初始卷轮半径$r_{0}$，给定线速度$v_{0}$（将来需要优化）
- $\theta\left(t\right)=\sqrt{\frac{4\pi v_0}{d}t+\left(\frac{2\pi r_0}{d}\right)^2}-\frac{2\pi r_0}{d}$

答案的意义

只要角速度用这个函数$\omega=k_{1}\left(k_{2}+t\right)^{-\frac{1}{2}}$不会产生拉力（理论上）
平均速度大于$\omega_{0}$？
主动控制角速度的基础上，再加上反馈控制

反馈控制建模

另一个控制速度为常数的方式是反馈控制
- 给定一个线速度$v_{0}$
- 控制转速$\omega\left(t+1\right)=\omega\left(t\right)-k\left(\omega\left(t\right)r\left(t\right)-v_{0}\right)$
- 选一个常数$k$
可以不用担心$\omega\left(t\right)$和$r\left(t\right)$之间的关系

数学建模小结

具有系统性的思维
- 定义系统的边界
- 大概认识系统相关现象的机制（物理、化学）
- 找到独立且足够的基础变量
- 其他变量表达为这些变量的函数

数学建模小结

具有科学思维
- 数学建模：做简化假设、问题数学化、求解问题、检验和系统化
- 检验以后，可以考虑进一步调整假设甚至对机制的认知
数学知识和建模的习惯
- 掌握一些数学结构、求解方法和工具
- 能先算一算再做决策，总是有帮助的，美国小微企业的数学建模素养

绳子上的波过窄缝

问题：绳子上有一个波在传播遇到一个窄缝，如何传播
基于物理知识构建数学模型，根据$\vec{F}=m\vec{a}$的矢量性，做矢量分解
基于生活经验建模，振动和缝同方向则完全过去，完全垂直的方向则不能过去
$\hat{s}$方向的缝之前的振动幅度为$\vec{A}$，则通过缝的振动为$\left(\vec{A}\cdot \hat{s}\right) \hat{s}$

运用概率的矩阵模型和矢量分解模型

乒乓球过三道门
绳子上的波过三个窄缝

乒乓球过三道门

演示行为：前后两道门不同，中间多一道两门之一，不能通过
一开始比如说$\rho_{1}=p\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right| + \left(1-p\right)\left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$
通过的第一道门$O_{1}=\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right|$的几率是$tr\left(O_{1}\rho_{1}\right)=p$
经过第一道门之后，状态只能和第一道门允许通过的相同，否则不能通过
也就是$\rho_{2}=\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right|$

乒乓球过三道门

如果直接过第二道门$O_{2}=\left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$
则，通过的几率是$tr\left(O_{2}\rho_{2}\right)=0$

乒乓球过三道门

中间放上门$O_{3}=q\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right| + \left(1-q\right)\left|\downarrow\right\rangle\left\langle \downarrow\right|$呢？
则，通过的几率是$tr\left(O_{3}\rho_{2}\right)=q$
过了之后的状态是$\rho_{3}=\left|\uparrow\right\rangle\left\langle \uparrow\right|$
这个状态还是不能通过$O_{2}$

乒乓球过三道门

数学模型的计算结果可以通过实验检验
前后两个不同的门，中间无论放什么门，最后都不能过去

绳子上的波过三个窄缝

前后放上两道完全相互垂直的门$O_{1}=\hat{i}$, $O_{2}=\hat{j}$
一开始的振动方向为$\vec{A}_{0}=x\hat{i} + y\hat{j}$
则经过第一道门之后，振动方向为$\vec{A}_{1} =x\hat{i}$
直接遇到第二道门，则振动方向为$\vec{A}_{2} =\left(x\hat{i}\cdot \hat{j}\right) \hat{j}=0$，过不去

绳子上的波过三个窄缝

如果中间插入第三道门，$O_{3}=\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$
则振动方向为$\vec{A}_{3} = \frac{x}{\sqrt{2}}\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$
接着再次遇到第二道门，则振动方向为$\left(\vec{A}_{3}\cdot \hat{j}\right) \hat{j}=\frac{x}{2}\hat{j}$，能过去

绳子上的波过三个窄缝

数学模型的计算结果可以通过实验检验
前后两个不同的门，中间放一个$45^{0}$的门，最后能过去

从量子力学看数学建模

光过一个偏振片
光过两个偏振片
光过三个偏振片
光和偏振片的数学模型？

光过一个偏振片

整体能量降低一半
单光子版本：光子整体过或者不过偏振片，光子本身强度不减弱

光过两个偏振片

如果偏振片方向垂直，则都过不去：光子只有两个独立状态
如果偏振片方向相同，则和一片一样
单光子版本现象相同
看起来像乒乓球的现象，用其模型？

光过三个偏振片

中间多一个$45^{0}$偏振片可以使得不能过的情况能过
像波，用其模型？

光过三个偏振片

波的模型之所以能用是因为背后的矢量叠加和Newton定律
光子不会相互拉扯，怎么办？

量子行为的数学模型

一个或者两个偏振片的时候能够用随机的单光子来解释
三个偏振片的时候可以用矢量来解释，不能用于单光子
光子的数学模型：符合“矢量分解”的乒乓球
具体计算不再展开

从量子力学看数学建模小结

科学就是在创造性地运用或者创造数学结构来描述世界
能算，算出来答案对，就是这个对象的数学模型
科学不关心人类是否能够“理解”，或者说，“建立数学模型”之外无“理解”
模型思维、数学模型思维是认识世界的最重要的方式

网络——复杂系统的骨架

用网络描述知识联系
用网络描述职位-技能-知识
将来有专门的网络课程

企业知识库、问题集

有问题集的好处
有企业知识库的好处
- “作者-论文-概念三层网络”
- 概念词条解释，类Wiki
- 问题集联系到企业知识库
- 职位-技能-任务网络
刻画和运用（尤其间接）联系就是网络

论文-概念网络举例

概念词条举例

汉字网络和理解型学习

汉字理解型学习

汉字学习顺序算法

已知汉字之间的直接联系（$i$是$j$的部件）矩阵$a^{i}_{j}$
定义$A$的列归一化（对行求和等于1）的矩阵$\tilde{A}$
求解逆矩阵，其中$W$是使用频率，$\tilde{W}$是学习顺序 \begin{equation} \tilde{W}= \left(1-\tilde{A}\right)^{-1}W= W + \tilde{A}W+\tilde{A}^{2}W+\tilde{A}^{3}W + \cdots \end{equation}
考虑了汉字的使用频率、直接构成字的数量（度）、是否参与构成了很多层汉字