知识网络和知识层次用于小学数学教学
报告目的和吴金闪的风格
- 介绍中心的核心理念和工具
- 一起来系统性地改善教和学
- 非常尖锐、刺激性（Provocative）
- 随时打断我问问题
核心概念和理念概览
核心概念：联系、层次、网络
- 人类知识高速公路：相互联系的知识
- 知识的层次和高层知识生成器
- 事实性程序性知识
- 学科概念
- 学科思维等学科大图景
- 一般性人类思维（批判性思维、系联性思考）、教和学的方法（理解型学习）
核心概念：高层知识生成器
- 高层知识指的是第三层和第四层知识
- 相对低层知识可以通过高层知识来生成，所以叫生成器
- 高层知识需要从低层知识种总结提炼出来
核心概念：上下左右贯通
- 上下联系：上层生成下层，上层来自于对下层的抽象总结提炼，分解和综合
- 左右联系：同层内知识也具有相互依赖的关系
- 左右联系：不同领域知识或者对象之间的联系，类比
核心概念：一般性人类思维
- 只有质量和方式两个维度
- 质量上就是批判性思维
- 方式上就是系联性思考
- 系联性思考包含层次性思维和类比思维，也就是上下和左右贯通
核心概念：学科大图景
- 典型研究对象
- 典型研究问题
- 典型思维方式
- 典型分析方法
- 和世界以及其他学科的关系
核心概念：教和学的最终目的
- 创造知识、创造性地使用知识
- 提出问题、解决问题
- 探索世界
- 欣赏知识的创造、欣赏问题的提出和解决
核心概念：理解型学习
- 所谓理解型学习，就是依靠知识之间的联系来学习知识，用好上下左右贯通
- 同时，我们强调，理解型学习要以掌握高层知识生成器为目标
- 低层知识都是过程、手段、素材
核心概念：能力和知识
- 在我们的概念体系中，能力就是使用知识（来提出和解决问题的）的意愿（willingness）和习惯（readiness）
- 传统上，也有人把我们这里的高层知识称作能力
- 但是，如果没有使用的意愿和习惯，则也可以一条条记下来，于是不算能力
核心理念：理解型学习
- 猜想：掌握了高层知识生成器可以更好地达到教和学的最终目的
- 猜想：以下技术可以更好地帮助学习者掌握高层知识生成器，
- 标记了层次的人类知识高速公路
- 概念网络上的学习顺序、检测算法
- 以高层知识生成器为标准来决定教什么
- 细节层面：绘制概念地图来梳理、表达和深化自己的思考
核心理念：理解型创造
- 高层知识生成器指导下的研究
- 一个领域的整体观
- 基于整体观，来选择研究什么
- 基于整体观来欣赏、梳理前人研究
- 细节层面，迁移创造的典型过程：
- 在某个领域上下贯通，在领域之间左右贯通
- 所谓跳出盒子，就是尽量往上走，看到大图景，然后跨领域迁移
举个例子
新教育模型
- 在人类知识高速公路上以高层知识生成器为目标的理解型学习
- 通过生成性学习、创造体验式学习建构自己的知识高速公路
- 每个人都学成自己的四不像
- 创造一个理解型学习的平台/基础架构
最终产品形态
- 人类知识高速公路
- 学习资源（教材、课程视频、Wiki词条、习题、项目等）链接到概念以及概念联系上
- 学习者决定学习的整体目标，算法（和专家）设计学习顺序
- 算法（和专家）随时诊断被试的学习进度
- 局部知识也运用理解型学习、创造体验式学习
为什么要实现它
- 学习是为了学会创造知识和创造性地使用知识，或者欣赏知识的创造和创造性使用
- 教是为了帮助学习者学得更好，学会学习的方法以及自学的基础（引领）
为什么要实现它
-
知识的重复性使用很快会被机器代替
-
但是，一方面需要创造型人才，一方面不断地背口诀和刷题
-
因此，教和学的研究也要做到
“帮助老师教得更好，帮助学生学得更好”
怎么实现它
- 人类知识高速公路的构建的任务和算法
- 人类知识高速公路上的学习顺序算法和断性检测算法
- 理解型学习的行为和脑活动的实验研究
- 构建最终产品，推广理解型学习
- 促进理解型学习的知识的教和学的层次之上的教育系统的研究
人类知识高速公路的构建和构建算法
- 目前手工构建，以概念地图和Wiki词条的形式
- 汉字理解型学习系统
- 英文单词基本完成
- 小学数学基本完成
- 需要从书和论文中构建概念地图的算法
- 知识层次标记
- 把习题、项目联系到知识高速公路的上
基础架构和算法
- 把教和学的问题分解成两个子问题
- 底层知识结构，用概念网络表达
- 概念网络上的算法
- 人类知识高速公路上的学习顺序算法
- 人类知识高速公路上的断性检测算法
- 顺便，把问题分解成数据（及其描述框架）和对数据的操作是非常具有一般性的研究方法
例如，汉字学习顺序算法
- 已知汉字之间的直接联系（$i$是$j$的部件）矩阵$a^{i}_{j}$
- 定义$A$的列归一化（对行求和等于1）的矩阵$\tilde{A}$
- 求解逆矩阵，其中$W$是使用频率，$\tilde{W}$是学习顺序 \begin{equation} \tilde{W}= \left(1-\tilde{A}\right)^{-1}W= W + \tilde{A}W+\tilde{A}^{2}W+\tilde{A}^{3}W + \cdots \end{equation}
- 考虑了汉字的使用频率、直接构成字的数量（度）、是否参与构成了很多层汉字
汉字研究的例子
汉字研究的例子
- 高效学习顺序，甚至个性化
- 自适应诊断性检测算法
- 甚至决定教什么学什么，而不仅仅怎么学
汉字学习顺序
- 成本-累计字数，成本-累计频率
中心几个研究方向
- 人类知识高速公路（概念和习题、项目）的构建
- 学习顺序和检测算法的设计和实验检验
- 对比理解型学习和机械式学习，（多）脑和行为
- 从知道到应用的举例
- 上下和左右贯通的脑活动
- 教和学的层次标注的任务和算法
中心研究鸟瞰
理念和概念小结
- 基于“系统”和“科学”
- 做可以“帮助老师教得更好，帮助学生学得更好”的教和学的研究
- 以及辅助教和学的研究、实践的实际系统
“新”教育“模型”
- 教和学的科学化：数学建模、计算和检验
- 一个描述知识、教和学的数学模型
- 把问题用模型的语言转化为数学题
- 求解解和检验，乃至总结为理论
“新”教育“模型”
- 基于系统：
- 知识之间的联系，网络和层次
- 学生之间、师生之间的联系
- 上下左右贯通的理念和算法
- 敬请期待“人类高速公路上的理解型学习系统”
核心概念和理念概览
用于小学数学教和学
小学数学的高层次知识
- 数学是思维的语言
- 数学是描述世界的语言
- 数学是促进思维成长的材料
- 系联性思考
- 知识的系统性
- 批判性思维
数学学习的目的
- 更准确地表达自己的思考，借助数学语言
- 把问题变成数学问题，进而解决
- 形成系联性思考、批判性思维
- 了解甚至追寻知识的系统性
- 看到和表达相似性，相似性$^2$，相似性$^3$
如何上下贯通？
- 数学是思维的语言
- 原始人的数和数数
- 逸儿学习减法和除法
- Khan学院的加法讲解
- “白马非马”和集合
- 从场景到概念，到思维，再到更多概念/场景
“白马非马”和集合
- 白马非马的含义
- 白色的马不是马的一种（一匹），“A white horse is not a horse”
- 白色的马的概念不等于马的概念，“A set of white horses is not the same as a set of horses”
- 用数学符号表示，明确
如何上下贯通？
- 知识的系统性和系联性思考
- 从数、数数到加法
- 从加（减）法到乘（除）法
- 从具体数的计算到符号和运算律
- 从运算和运算律到数学结构
- 从底层到高层，从具体到一般，再回去
如何上下贯通？
- 批判性思维和证明
- 从$\sqrt{2}$是无理数（可以有更好的例子）的证明
- 体会到反证法
- 体会到证明（演绎法、三段论）
- 体会到纯数学及其乐趣
$\sqrt{2}$是无理数
- $\sqrt{2}$的定义：$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$
- 有理数是循环小数，是$\frac{q}{p}$（？），整数约分
- 不循环小数称为无理数
- 假设$\sqrt{2}=\frac{q}{p}$是有理数，则$2=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=\frac{q}{p}\frac{q}{p}=\frac{q^2}{p^2}$
- $2p^2=q^2$，$q$肯定是偶数（？）
$\sqrt{2}$是无理数，续
- 那么，$2p^2=\left(2k\right)^2\Rightarrow p^2=2k^2$，$p$肯定是偶数
- $q,p$都是偶数，没约分，矛盾
- 如果中间推理都没错，则假设错了
- 也就是$\sqrt{2}$不是有理数，是无理数（？）
运算和逆运算
- 为什么说“减法是加法的逆运算”
- 我们可以记住
- 还可以这样来想
- 正运算是$a+2=?$
- 逆运算就是$?+2=a$
- $?+2=a \Rightarrow ?=a-2$（等式两边同时减去2）
- “a加2”的逆运算是“a减2”
“加法是减法的逆运算”
- 正运算是$a-2=?$
- 逆运算就是$?-2=a$
- $?-2=a \Rightarrow ?=a+2$（等式两边同时加上2）
- “a减2”的逆运算是“a加2”
“除法是乘法的逆运算”
- 正运算是$a\times 2=?$
- 逆运算就是$?\times 2=a$
- $?\times 2=a \Rightarrow ?=a\div 2$（等式两边同时除以2）
“乘法是除法的逆运算”
- 正运算是$a\div 2=?$
- 逆运算就是$?\div 2=a$
- $?\div 2=a \Rightarrow ?=a\times 2$（等式两边同时乘以2）
运算和逆运算，一般含义
- 一般化：逆运算就是把正运算里面的用来算的已知的数（$a$）变成未知的要算出来的答案（$?$），同时把要算出来的答案（$?$）变成已知的用来算的数$a$
- 其含义就是把正运算在一个数（$a$）的基础上算出来的东西（$?$）做一个什么样的操作能够变回原来的数（$a$）
- 简单说来，逆运算是：把$a$换成$?$，把$?$换成$a$
运算和逆运算，总结
- 从具体例子到一般含义一般概念的提炼非常的重要，一般化，抽象化
- 有的时候，也会反过来，先学会一般概念，然后回到具体计算
- 例如，加法，也是先有加法的需求，多了，才会形成概念，最后才是学计算
运算和逆运算，反思
- 我们来试试严格第推导上面那些逆运算 \begin{equation} ?+2=a \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow \left(?+2\right)-2=a-2 \mbox{（等式两边减去2）} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?+\left(2-2\right)=a-2 \mbox{（加法结合律）} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?=a-2 \mbox{（加法计算）} \end{equation}
- 好像推理严密了？
运算和逆运算，反思
- 但是，“加法结合律”能用在“减法”上吗？ \begin{equation} \left(?+2\right)-2=a-2 \mbox{（等式两边减去2）} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow \left(?+2\right)+\left(-2\right)=a-2 \mbox{（减法通过负数变加法）} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?+\left[2+\left(-2\right)\right]=a-2 \mbox{（加法结合律）} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?+\left(2-2\right)=a-2 \mbox{（加法变回减法）} \end{equation}
- 这次推理严密了？
运算和逆运算，反思
- 那为什么加法结合律是成立的？
- 等式两边同时做加法呢？
- 负数的概念学了吗，应该什么时候学？
运算和逆运算，反思
- 例如，加法结合律：
- 加法的含义是合起来数一数
- 对于合起来数一数来说，先数前两个，或者后两个，再都合起来，没有区别
- 将来甚至会反过来，我们称满足结合律等这些性质的操作才能算加法
运算和逆运算，反思
- 确实，经过了这一系列的逐步深入到最基本的概念的思考，我们的逻辑是严密了
- 但是，有这必要吗？是不是想想就明白了？
- 你想，一个数$a$加上$2$以后，我们问，做什么能够回到$a$
- 肯定就是把加上去$2$重新去掉啊
- 整体里面去掉一部分就是减法的含义，于是，逆运算就是减法
运算和逆运算，反思
- 一切从最基本的定义、含义开始
- 一种做数学推理的方式就是依靠语言来想明白
- 另一种做数学推理就是用符号来计算
- 第二种对简单问题显得复杂没必要，但是对复杂问题能够帮助你思考
运算和逆运算，反思
- 数学不过就是思维的语言，讲究严密性
- 批判性层层推进直到定义（和公理）
- 证明是其典型思维方式
- 数学知识具有系统性，通过联系建构起来
- 对复杂问题来说，形式语言更有效
运算和逆运算，推广
- 试试$a^2\triangleq a\times a=?$的逆运算
- $a$换成$?$，$?$换成$a$，得到$?^2\triangleq ?\times ?=a$
- 这个算式的含义是“什么东西的平方，也就是什么东西乘上它自己，等于$a$”
- 我们可能不会算，但是这个东西有意义
- 当$a=4$的时候，$2\times 2=4$，找得到这样的“$?$”
- 既然是个东西，给个记号$?=\sqrt{a}$，叫做平方根
如何上下贯通？
- 从具体知识到学科大图景
- 再到实际问题、具体知识
提问时间
- 感谢您的时间和注意力
- 带回家的消息：
- 知识有联系，有层次
- 高层知识生成器帮助迁移学习和创造
- 需要上下左右贯通地教和学
- 我们给大家准备了：小学数学概念网络和书《小学数学这样学》
- 未来可能会有课程（一起来建设？）