小中大学数学这样学

吴金闪

系统科学学院

北京师范大学

系列短课的目的

数学研究结构——对象之间的关系,并且为思维提供语言,为描述世界提供的语言

  • 为了帮助理解什么是数学
  • 从而学会促进理解“数学是什么”的学习方法
  • 顺便,这是人类知识高速公路上以高层知识生成器为目标的理解型学习的例子

更多资源可见

核心理念和概念

  • 人类知识高速公路:相互联系的知识
  • 知识的层次和高层知识生成器
    • 事实性程序性知识
    • 学科概念
    • 学科思维等学科大图景
    • 一般性人类思维(批判性思维、系联性思考)、教和学的方法(理解型学习)

高层知识生成器之学科大图景

  • 典型研究对象
  • 典型研究问题
  • 典型思维方式
  • 典型分析方法
  • 和世界以及其他学科的关系

核心理念和概念

  • 上下联系:上层生成下层,上层来自于对下层的抽象和总结
  • 左右联系:同层内知识也具有相互依赖的关系
  • 理解型学习:运用了上下左右的联系来学习的过程
  • 机械式学习:孤立知识点,通过重复练习来学习的过程
  • 为了做理解型学习,可以稍微学点概念地图

关于“能力”和“知识”

  • 能力的核心是知识生成器,加上使用生成器面对问题的意愿和习惯
  • 知识不仅仅是事实性程序性知识
  • 获取知识的方法是概念形成和概念同化
    • 概念形成:从直接经验出发提炼出来一类事物的共同特征,或者事物之间的关系
    • 概念同化:基于自己认知结构中已经建立的概念,通过这些概念的关系,来构建新概念

教和学的目的和方法

  • 学是为了成为
    • 提出问题、解决问题
    • 从而创造知识、创造性地使用知识的人
    • 欣赏知识的创造和创造性的使用的人
  • 为此,要学和用高层生成器(三四层的知识)
  • 为了学会三四层的知识,需要从一二层来,到一二层中去,上下左右联系贯通
  • 高层知识生成器有助于迁移学习和迁移创造
  • 教是为了指导性地帮助学生的学

举个例子

AbilityIsKnowledgeGenerator

  • 除了死记硬背,可以用“因地制宜”的思想来解决
  • 能力最终落实到知识以及使用知识来面对问题的意愿和习惯

从理解型学习看这个系列短课

  • 高屋建瓴,但是注重要从从低到高和从高到低的过程中学习
  • 比如说,前面的这些学习理念和方法你现在可能不太明白
    • 先了解这些可以促进你理解后面的具体内容
    • 明白后面的具体内容可以更好地理解这些
  • 这本身就体上下联系,抽象—具体—抽象
  • 为了成为知识收集器的学习没有任何意义

几个关键词

  • 高层知识生成器
    • 学科大图景
    • 一般性人类思维
    • 理解型学习
  • 上下左右贯通
  • 创造体验式学习

知识起点

  • 假设你已经明白
    • 自然数的含义,单位的初步概念,也会带着单位数数
    • 加法是合起来数一数
    • 减法是整体中去掉一部分
    • 乘法是重复加法的简便记号
    • 除法是重复减法的简便记号
  • 如果不具备可以先看《小学数学这样学》

逻辑能力起点和学习态度要求

  • 不需要任何基础
  • 只要愿意去思考
  • 有的时候会有一定挑战性
  • 想学明白数学是什么而不仅仅是怎么算

内容定位和更新说明

  • 以下具体内容基本会在大中小学数学的范围内
  • 想到哪里分享到哪里
  • 不承诺具有系统性
  • 不承诺知识基础都自足
  • 不定期更新
  • 注意,大多数人都不是这个系列的合适用户,对学习者的学习态度和学习目标要求很高而且我也没有降低的意愿和计划,请谨慎选择

运算和逆运算,举例

  • 可能你已经听说过“减法是加法的逆运算”
  • 那什么是逆运算,为什么说“减法是加法的逆运算”
  • 我们这样来看
    • 假设正运算是$a+2=?$(读作,a加2等于什么)
    • 那么,逆运算就是$?+2=a$
    • 也就是,$?+2=a \Rightarrow ?=a-2$(等式两边同时减去2)

运算和逆运算,举例

  • 类似地“加法是减法的逆运算”
    • 假设正运算是$a-2=?$
    • 那么,逆运算就是$?-2=a$
    • 也就是,$?-2=a \Rightarrow ?=a+2$(等式两边同时加上2)

运算和逆运算,举例

  • 类似地“除法是乘法的逆运算”
    • 假设正运算是$a\times 2=?$
    • 那么,逆运算就是$?\times 2=a$
    • 也就是,$?\times 2=a \Rightarrow ?=a\div 2$(等式两边同时除以2)

运算和逆运算,举例

  • 类似地“乘法是除法的逆运算”
    • 假设正运算是$a\div 2=?$
    • 那么,逆运算就是$?\div 2=a$
    • 也就是,$?\div 2=a \Rightarrow ?=a\times 2$(等式两边同时乘以2)

运算和逆运算,一般含义

  • 一般化:逆运算就是把正运算里面的用来算已知的数($a$)变成未知的要算出来的答案($?$),同时把要算出来的答案($?$)变成已知的用来算的数$a$
  • 或者说,含义就是把正运算在一个数($a$)的基础上算出来的东西($?$)做一个什么样的操作能够变回原来的数($a$)
  • 简单说来,逆运算是:把$a$换成$?$,把$?$换成$a$

运算和逆运算,总结

  • 从具体例子到一般含义的提炼非常的重要,一般化,抽象化
  • 有的时候,也会反过来,先学会一般概念,然后回到具体计算
  • 例如,加法,也是先有加法的需求,多了,才会形成概念,然后,后来就先学概念再学计算了

运算和逆运算,反思

  • 我们来试试严格第推导上面那些逆运算 \begin{equation} ?+2=a \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow \left(?+2\right)-2=a-2 \mbox{(等式两边减去2)} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?+\left(2-2\right)=a-2 \mbox{(加法结合律)} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?=a-2 \mbox{(加法计算)} \end{equation}
  • 好像推理严密了?

运算和逆运算,反思

  • 但是,“加法结合律”能用在“减法”上吗? \begin{equation} \left(?+2\right)-2=a-2 \mbox{(等式两边减去2)} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow \left(?+2\right)+\left(-2\right)=a-2 \mbox{(减法通过负数变加法)} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?+\left[2+\left(-2\right)\right]=a-2 \mbox{(加法结合律)} \end{equation} \begin{equation} \Longrightarrow ?+\left(2-2\right)=a-2 \mbox{(加法变回减法)} \end{equation}
  • 这次推理严密了?

运算和逆运算,反思

  • 那为什么加法结合律是成立的?
  • 等式两边同时做加法呢?
  • 负数的概念学了吗,什么时候学?

运算和逆运算,反思

  • 例如,加法结合律:
    • 加法的含义是合起来数一数
    • 对于合起来数一数来说,先数前两个,或者后两个,再都合起来,没有区别
  • 将来甚至会反过来,我们称满足结合律等这些性质的操作才能算加法

运算和逆运算,反思

  • 确实,经过了这一系列的逐步深入到最基本的概念的思考,我们的逻辑是严密了
  • 但是,有这必要吗?是不是想想就明白了?
  • 你想,一个数$a$加上$2$以后,我们问,做什么能够回到$a$
  • 肯定就是把加上去$2$重新去掉啊
  • 整体里面去掉一部分就是减法的含义,于是,逆运算就是减法
  • 多简单啊

运算和逆运算,反思

  • 一切从最基本的定义、含义开始
  • 一种做数学推理的方式就是依靠语言来想明白
  • 另一种做数学推理就是用符号来计算
  • 第二种对简单问题显得复杂没必要,但是对复杂问题能够帮助你思考
  • 数学不过就是思维的语言,讲究严密性
    • 批判性层层推进直到定义(和公理)
    • 证明是其典型思维方式
    • 数学知识具有系统性,通过联系建构起来
    • 对复杂问题来说,形式语言更有效

运算和逆运算,作业

  • 把其他三个逆运算的推理补充严密
  • 从补充过程中再一次体会数学是思维的语言

运算和逆运算:平方根

  • 试试$a^2\triangleq a\times a=?$的逆运算
  • $a$换成$?$,$?$换成$a$,得到$?^2\triangleq ?\times ?=a$
  • 这个算式的含义是“什么东西的平方,也就是什么东西乘上它自己,等于$a$”
  • 我们可能不会算,但是这个东西有意义
  • 当$a=4$的时候,$2\times 2=4$,找得到这样的“$?$”
  • 既然是个东西,给个记号$?=\sqrt{a}$,叫做平方根

平方根

  • 但是除了少数情况,我们真的不会算,例如$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$
  • 算不出来一个整数,影响我们理解其含义吗?
  • 不影响,例如,$\sqrt{2}$就是满足“$\left(\sqrt{2}\right)^2=2$”的数,大概在$1,2$之间
  • 也就是说,$\sqrt{a}$的含义就是“$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$”
  • 这就是数学结构,其含义完全由它能够参与什么操作来定义
  • 同时,平方和平方根的互逆关系不容易仅靠想

平方根的性质

  • 这个不是一个你熟悉的数的东西,你仍然可以拿来用
  • 比如,我们来证明
    • $a>0$的时候,总共有两个平方根
    • $a=0$的时候只有一个,$0$
    • $a<0$的的时候,正数和负数的$?$都不满足$?^2=a$

平方根的性质:$\left(-\sqrt{a}\right)^2=a$

  • $\left(-\sqrt{a}\right)^2=\left(-\sqrt{a}\right)\times \left(-\sqrt{a}\right)$ (平方的定义)
  • $=\left(-1\times \sqrt{a}\right)\times \left(-1 \times \sqrt{a}\right)$ (相反数等于一个数乘上$-1$)
  • $ = \left(-1\right) \times \sqrt{a}\times \left(-1\right) \times \sqrt{a}$ (乘法结合律)
  • $= \left(-1\right) \times \left(-1\right) \times \sqrt{a}\times\sqrt{a}$ (乘法交换律)
  • $= \left[\left(-1\right) \times \left(-1\right) \right]\times \left(\sqrt{a}\times\sqrt{a}\right)$ (乘法结合律)
  • $=1\times a =a$ ($-1$相反数是$1$,平方根的含义)
  • $=a$ (乘法计算)

平方根的性质

  • 同时,我们注意到,$\left(\pm \sqrt{a}\right)^2=a$
  • 也就是说,无论正数和负数的平方都大于等于零
  • 所以, $a\geq 0$
  • 而且,$a>0$有两个平方根$\pm \sqrt{a}$,但是$\pm\sqrt{0}=0$,只有一个

平方根,反思

  • 你看,从运算和逆运算的关系开始,我们掌握了一个数学结构——往往写不出来具体数字的一个数,但是,我们可以通过“这个数能够参与什么运算来用这个数来思考问题”
  • 甚至,运算和逆运算的一般关系,也是从具体的例子中总结抽象出来的
  • 依靠符号和运算,而不是想,我们可以走的更远
  • 数学论证的每一步都要有逻辑基础,批判性思维
  • 一切从最基本的定义、含义开始,系统性

平方根,拓展

  • 我们来看看$\sqrt{2}$是否可以表示为一个分数
  • 对于分数,只要我们换单位,把分母分之一当做新的单位,就会变成整数
  • 也就是说,我们问$\sqrt{2}$是否最终还是一个整数(新单位下)
  • 下面的论证是人类文明的巨大成就,欣赏之

平方根,拓展

  • 假设$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$是个分数。其中$p,q$没有公因数,有就提前消掉
  • 于是,通过含义,$2=\left(\sqrt{2}\right)^2=\left(\frac{p}{q}\right)^2$
  • 也就是$2=\frac{p^2}{q^2}$,$2q^2=p^2$
  • 于是,$p^2$是一个偶数,那么,$p$也必须是偶数。如果$p$是奇数,$p^2$必然也是奇数(如果需要自己补充这一步的证明)

平方根,拓展

  • 记$p=2k$,于是$2q^2=2k\times 2k=4k^2$,得到$2k^2=q^2$
  • 同理,$q$也是偶数
  • 但是,我们已经要求$p,q$没有公因数,这里却得到公因数$2$
  • 矛盾,因此,只要每一步推理没有错,则就是一开始的假设错了(顺便,这叫做反证法)
  • 也就是说,$\sqrt{2}$不是个分数

平方根,拓展

  • 同理,可以得到$\sqrt{3}$不是分数(去试试)
  • 是不是还可以得到$\sqrt{4}$不是分数呢?
  • 假设$\sqrt{4}=\frac{p}{q}$是个分数,有$4q^2=p^2$
  • 于是,$p^2$必然包含因数$4$,这个条件只需要$p=2k$就可以满足,不需要$p=4k$
  • 代入,得到$4q^2=4k^2$,也就是$q^2=k^2$
  • 没有发现矛盾

平方根,拓展的小结

  • 我们用反证法证明了某些平方根不是一个分数
  • 在证明过程中,我们主要就用到了平方根的定义,$\left(\pm \sqrt{a}\right)^2=a$
  • 一个我们认为我们不太写得下来具体数字的数学结构,只要知道其能够参与什么样的运算,就够了
  • 这就是数学的抽象思维的威力
  • 能够写得下来的数,你会越来越少遇到

平方根,进一步拓展

  • 将来你还可以证明,分数是无限循环小数(包含有限小数,循环节为$0$)
  • 我们已经知道这些个平方根还是有一个范围的,也就是可以通过一个长度来表示
  • 如果我们把能用长度来表示的数都叫做小数的话,像$\sqrt{2}$这样的平方根就是无限不循环小数
  • 将来,你还会给这样的小数另一个名字,叫做实数。把实数和能够用长度(加上正负方向)表示的数完全对应起来,称作实数轴
  • 但是,我们留到以后有机会再来展开

试试立方根?

  • 正运算$a^3=a\times a \times a =?$,逆运算$?^3=?\times ? \times ? =a$
  • 确实存在,例如,$2^3=2\times 2 \times 2=8$,也就是逆运算中如果$a=8$,则$?=2$
  • 给个记号$\sqrt[3]{a}$和名称——立方根
  • 其含义是$\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a$

立方根

  • $\sqrt[3]{a}$对$a$有要求吗?
  • 给定一个$a$,立方根有几个?
  • 我们试试$\left(-\sqrt[3]{a}\right)^3=\left(-\sqrt[3]{a}\right)\times \left(-\sqrt[3]{a}\right)\times \left(-\sqrt[3]{a}\right)=-\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=-a$
  • 因此,加个负号在前面不是立方根
  • 同时,由于负数的立方是负数,正数的立方是正数,在正负上对$a$也没有要求

立方根,拓展

  • $\sqrt[3]{2}$是不是一个分数?
  • $\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$,则$2q^3=p^3$
  • 于是,$p=2k$是个偶数
  • $2q^3=8k^3\Rightarrow q^3=4k^3$,于是$q$也必须是而偶数
  • 矛盾,因此,$\sqrt[3]{2}$不是一个分数

立方根,拓展

  • $\sqrt[3]{8}$是不是一个分数?
  • $\sqrt[3]{8}=\frac{p}{q}$,则$8q^3=p^3$
  • 这里不要求$p=8k$,而是$p=2k$就可以满足要求
  • 于是,$8q^3=8k^3\Rightarrow q^3=k^3$,没有矛盾

平方根和立方根,作业

  • 联系到, $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{8}$其中有的是分数,有的不是这个情况
  • 请试着总结一下什么情况下,$\sqrt{a}, \sqrt[3]{a}$会是一个分数
  • 提示,你可以假设$a=\frac{p}{q}$,或者$\sqrt{a}=\frac{p}{q}, \sqrt[3]{a}=\frac{p}{q}$等
  • 学会论证,学会论证的方法本身已经很有意义
  • 学会从具体例子中提炼一般的结论,然后加以证明或者推翻,更有意义

回到数学是什么

  • 哪些地方体现了数学是思维的语言
  • 哪些地方体现了“严密证明”这个数学典型思维方式
  • 哪些地方体现了数学知识的系统性:有联系,从少数概念和假设建构整体

回到学习方法

  • 高层知识生成器:系联性思维、批判性思维
  • 高层知识生成器学了能够帮助迁移学习和迁移创造吗?
  • 整理出来知识网络,并且注意了上下左右联系了吗?

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再次体验几个关键词

  • 高层知识生成器
    • 学科大图景
    • 一般性人类思维
    • 理解型学习
  • 上下左右贯通
  • 创造体验式学习

系列短课鸟瞰

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新的例子:从数数看数学

  • 从最简单的数数和加法看什么是数学
  • 可能会跟没深入思考时的理解不同
  • 学会使用和创造数学来表达

带着单位数数

Two ApplesTwo Egges Two Tomatoes Two Apples

  • 假设我们已经知道$1,2,3,4,5$这些符号的含义
  • 例如,我们问这里分解有几个对应的东西
  • 如论那东西是什么,数都是“$2$”
  • 数数要带着单位
  • 但是,数出来的数是不依赖单位的那部分
  • 数学就是来自于具体事物,但是不依赖于具体事物的那部分

带着单位数数

  • 其实,这个单位不够准确,只是个大概的整体
  • 单位(整体)还可变:两双筷子,两打袜子
  • 有更明确的单位,米、千克、小时
  • 真的更明确吗?于是,进入到物理
  • 数学假设有这样更明确的单位就够了

带着单位做计算

  • 一个苹果和一个苹果放一起合起来数一数是两个苹果,写成算式(数学符号)是

1 苹果 + 1 苹果 = 2 苹果

1 鸡蛋 + 1 鸡蛋 = 2 鸡蛋

  • 算式不过就是用数学符号来表达一个意思

苹果的加法还是苹果数量的加法?

  • 苹果的加法应该得到苹果,

小苹果 + 小苹果 = 大苹果

  • 而且不能跨越对象使用
  • 目前在苹果上,这个“加法”不能实现
  • 正好因为是苹果数量的加法,去掉单位以后,都可以用
  • 数学超越具体对象的体现:从某某事物数量的加法,变成数的加法

有没有事物的加法呢?

  • 两种豆子混在一起,不算,没有成为新豆子
  • 两种豆子种在一起,新的后代,算
  • 不过,不考虑变异,从基因的角度,其实还是数量
  • 两种可以发生化学反应的“豆子”,肉加料酒,算
  • 不过,分子的角度算,原子核和核外电子的角度可能不算

有没有事物的加法呢?

  • 甚至核裂变,在更更基本粒子的角度,还是数量变化而已
  • 那,到底有没有事物的加法?
  • 真的有,量子状态:小苹果 + 大苹果 = 香蕉

数学和科学

  • 一方面,找到世界最基本的构成单位,使得一切都是这些基本单位的不同数量的组合,是科学的目标
  • 一方面,如果事物的相加不能还原成数量的直接相加,那也是科学的进步
  • 将来有一套符号语言来区分事物数量的加法(集合,集合大小)和事物的加法(矢量)
  • 科学和数学相互推动,具体$\Longleftrightarrow$抽象

回到带着单位做计算

  • 试算$1$元$+1$元$=2$元
  • $1$百元$+1$百元$=2$百元
  • $1$万元$+1$万元$=2$万元
  • $1$百万元$+1$百万元$=2$百万元
  • $1$兆元$+1$兆元$=2$兆元
  • 甚至我都不懂“兆”什么意思
  • 只要我把它们当单位,而且不牵涉到单位转换习惯

带着更复杂的单位做计算

  • 试算$1$个$\frac{1}{5}$$+1$个$\frac{1}{5}$$=2$个$\frac{1}{5}$,也就是将来的$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
  • 我不懂$\frac{1}{5}$,就好像不懂“兆”
  • $1$个$x$$+1$个$x$$=2$个$x$,也就是将来的$x+x=2x$
  • 我不懂$x$,将来可以代表任何东西
  • 只要我把它们当单位,而且不牵涉到单位转换习惯

从数数看数学小结

  • 数数的基础是知道数的意思和符号,知道单位的意思
  • 加法是合起来数一数
  • 单纯背加法表和自然数列是没意义的,当然,完全不背也是不够的
  • 一旦懂得了单位,用好了,可以推广到大量关系相同的事物上
  • 这就是数学,看到关系的相同,结构的相同

从数数看数学小结

  • 这就是脱离具体对象的只包含了对象之间的关系形成的结构的威力
  • 甚至这个关系本身也可以成为数学对象
    • 研究运算的规律
    • 而不再是数在某种给定运算下的规律
  • 看到相似性,相似性的相似性,相似性的相似性的相似性
  • 抽象思维的威力
  • 当然,论证过程还要严谨

回到数学是什么

  • 哪些地方体现了数学是思维的语言
  • 哪些地方体现了“严密证明”这个数学典型思维方式
  • 哪些地方体现了数学知识的系统性:有联系,从少数概念和假设建构整体
  • 哪些地方体现了数学和科学的关系
    • 数学为科学提供描述世界的结构
    • 科学启发数学提出新的结构

回到学习方法

  • 高层知识生成器:系联性思维、批判性思维
  • 高层知识生成器学了能够帮助迁移学习和迁移创造吗?
  • 整理出来知识网络,并且注意了上下左右联系了吗?

教育系统科学研究中心

再次体验几个关键词

  • 高层知识生成器
    • 学科大图景
    • 一般性人类思维
    • 理解型学习
  • 上下左右贯通
  • 创造体验式学习

系列短课鸟瞰

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数学四步和数学四问

  • 数学四步
  • 数学四问
  • 勾股定理和数学四问
  • 数学建模和数学四步

理解型学习学什么怎么学

  • 知识的联系和层次
  • 科学大图景
  • 理解型学习

知识的联系

  • 知识之间是相互联系的
    • 从数和数数到加法到乘法
    • 平面几何知识体系
  • 可能是因为知识所描述的事物有联系
  • 可能是大脑($7\pm 2$)需要通过联系来认识世界

知识的层次

  • 事实性程序性知识
  • 学科概念
  • 学科大图景
  • 一般性人类思维,教和学的方法

知识的层次

Knowledge Levels

学科大图景

  • 典型研究对象
  • 典型研究问题
  • 典型思维方式
  • 典型分析方法
  • 和世界以及其他学科的关系

理解型学习

  • 以高层知识生成器为目标
  • 上下左右贯通
    • 从创造体验式学习具体知识体会学科大图景
    • 从把大图景用于问题提出和解决体会大图景

数学学科大图景

  • 从研究数和形到研究关系
  • 对关系做计算(推理),成为场景应用模板
  • 知识的系统性、看到一阶二阶三阶相似性
  • 公理化体系、证明、数学四步、数学四问
  • 和世界以及其他学科的关系
    • 用来表达思考和思想
    • 用来描述世界

数学四步

  • 提出问题
  • 建模,把问题转化为数学问题(提出和运用数学概念)
  • 求解数学问题(发明或者运用解法)
  • 检验答案,系统化模型、概念、解法

数学四问

  • 这个场景里面有哪些主要因素(What)
  • 这些因素之间是如何相互联系的(How)
  • 这些联系是如何用数学结构来表达的(How)
  • 为什么这些因素是主要的,这些联系为什么用这些结构来表达(Why)
  • 这思路怎样?还有其他的思路吗?求解出来的答案对吗?(Meaningful)

数学和数学建模

  • 数学建模:用数学结构描述世界
  • 数学建模启发数学概念的提出
  • 做中创造,做中学,创造中学
    • 在数学建模中提升对数学概念的理解
    • 在数学建模中提升对数学四步、数学四问的理解

科学和数学建模

  • 科学是建立世界的可计算的模型
  • 算出来的结果和对世界的测量结果相符
  • 批判性思维、系联性思考(分解和综合)
  • 系统性:尽可能少的假设和概念,尽可能多的现象

模型和数学模型

  • 模型是大脑中对世界(的某些对象的某些属性)的一个表示
  • 表示:外界对对象做什么,以及反过来,可以做在这个表示上
  • 数学模型:把“做什么”变成对这个表示的计算

勾股定理的证明

Proof of the Pythagorean theorem

  • 一个三角形都有哪些变量:$a,b,c$,$\angle A, \angle B, \angle C$,$S, C$,$h_{a}, h_{b}, h_{c}$, …
  • 都独立吗?为什么要找一组独立而且足够的?

勾股定理的证明

  • 一个直角三角形都有哪些变量:$a,b,c$,$\theta$,$S, C$,…
  • 一组独立而且足够的:$a,b$, $c,\theta$
  • 其他变量都是这一组变量的函数,例如$c=F\left(a,b\right), a=H\left(c,\theta\right), S=G\left(c,\theta\right)$

勾股定理的证明

  • 我们选择$c,\theta$
  • 来看看$S=G\left(c,\theta\right)$大概长什么样
  • $\left[S\right]=m^2$,$\left[c\right]=m$,$\left[\theta\right]=1$
  • 于是,为了单位正确,$S=c^2f\left(\theta\right)$——量纲分析

勾股定理的证明

Proof of the Pythagorean theorem

  • 三个三角形中使用$S=c^2f\left(\theta\right)$
  • 得到其面积分别为:$S_{c}=c^2f\left(\theta\right)$,$S_{a}=a^2f\left(\theta\right)$,$S_{b}=b^2f\left(\theta\right)$
  • 根据$S_{a}+S_{b}=S_{c}$,得到$a^2+b^2=c^2$

从勾股定理看数学建模

  • 确定一个系统包含哪些主要因素
  • 找到独立且足够的变量,就解决了问题的一半
  • 更复杂的问题需要从机理上确定因素之间关系
  • 注意联系到数学解题四问

勾股定理的证明,习题

  • 证明“勾三股四则弦五”
  • 证明$30^{0}$锐角的直角三角形,有勾$1$股$\sqrt{3}$弦$2$

从数看数学结构

  • 自然数$1,2,3,4,5,\cdots$有不同的作用
  • 记号作用,例如每个人一个编号
  • 序号作用,编号本身有内在含义,例如难度、先来后到
  • 描述大小作用,需要统一的大小单位

数的作用需要看所描述对象之间的关系

  • 例如,一篮子苹果
  • 数只能做记号
  • 如果苹果按照大小排列记号遵从这个顺序,则还可以做序号
  • 如果每个苹果的大小间隔相同(这个非常不可能),则还可以算加法

课文之间的关系

  • 例如,一本教科书里面的课文
  • 数只能做记号
  • 如果论文按照难度排列记号遵从这个顺序,则还可以做序号
  • 如果每篇课文的难度间隔相同(这个非常不可能),则还可以算加法
  • 但是,可以单纯看页码

教材页码之间的关系

  • 页码之间有内容上的联系,哪几页属于某一篇
  • 但是,一般来说,也就“查页码”的作用
  • 查页码的时候,数只当做记号
  • 查的过程其实也用到页码本身的顺序,序号
  • 这个顺序的意义仅仅是把每一页看做一个相同的单位的前后,没有内容上的前后,原则上可以瞎印内容
  • 如果仅仅关心印刷成本,多厚,则还可以算加法

数和数学结构小结

  • 数用来做什么能做什么,都取决于所描述的对象之间的关系
  • 纯粹的对象,数可以当记号
  • 对象之间可比较,可以当序号
  • 对象之间有某种固定间隔,数可以参与加法

数和数学结构小结

  • 任何数学结构(描述了什么可以用来描述什么)都是由关系决定的
  • 将来,对象和关系,用集合和映射的语言描述
  • 数学就是研究有事物之间关系导致的(往往具有某种共性的)结构
  • 我们学会结构用到具有类似关系的地方
  • 我们基于关系提出新的数学结构

数、过程、运算和封闭性

  • 从自然数到整数、分数、小数、无理数、虚数
  • 为什么要求有封闭性
  • 从状态到过程(极限)
  • 变成过程的意义,$\frac{px}{x}\rightarrow \frac{0}{0}$能算吗?

从整数到有理数

  • 从自然数到整数,减法,负数和$0$
  • 从整数到分数,平均分,换单位,除法
  • 从分数到循环小数,计算
  • 从整数到(循环)小数,换单位

循环小数是分数

  • $\frac{1}{3}=0.\dot{3}$
  • $1=0.\dot{9}$
  • 循环小数是过程
  • 循环小数是分数,分数是循环小数
  • 分数包含整数,整数包含自然数
  • $3.1=3.1\dot{0}$

有不循环小数吗

  • 前面已经证明了有,例如$\sqrt{2}$
  • 再举一个例子,$\pi$
  • 知道了$\pi$怎么算之后
    • 证明$\pi>3.10$
    • 试着找一个$\sqrt{2}$的逼近计算的方法

证明$3<\pi<2\sqrt{3}$

Estimating Pi

  • $6r=C^{<}<2\pi r<C^{>}=4\sqrt{3}r \Longrightarrow 3<\pi<2\sqrt{3}\approx 3.464$

不断逼近$\pi$的方法

  • 用圆的内接和外切正多边形,$n$越大越接近
  • 据说,祖冲之也是这样算的
  • 永远也不会结束,但是会越来越准确

数是过程

  • 循环小数是过程
  • 不循环小数是过程
  • 一个表示和所表示的对象越来越接近,那么表示就是对象

实数封闭了吗?

  • 加减乘数对于有理数是封闭的
  • 开方之类的,圆的面积周长,需要无理数
  • 实数对于“越来越接近”是封闭的
  • 负数的开平方需要虚数$\sqrt{-1}=i$
  • 描述现实和思考中会需要虚数吗?会,量子力学

为什么要求有封闭性?

  • 数学是思维的语言
  • 数学是描述世界的语言
  • 只要我们能够对思想和世界中的对象做什么,则我们的数学结构就要提供好什么
  • 这就是封闭性的来源,如果不封闭,则发明新的数学

回到数学是什么

  • 哪些地方体现了数学是思维的语言
  • 哪些地方体现了“严密证明”这个数学典型思维方式
  • 哪些地方体现了数学知识的系统性:有联系,从少数概念和假设建构整体
  • 哪些地方体现了数学和科学的关系
    • 数学为科学提供描述世界的结构
    • 科学启发数学提出新的结构
  • 数学是研究结构的学科

回到学习方法

  • 高层知识生成器:系联性思维、批判性思维
  • 高层知识生成器学了能够帮助迁移学习和迁移创造吗?
  • 整理出来知识网络,并且注意了上下左右联系了吗?

教育系统科学研究中心

再次体验几个关键词

  • 高层知识生成器
    • 学科大图景
    • 一般性人类思维
    • 理解型学习
  • 上下左右贯通
  • 创造体验式学习

系列短课鸟瞰

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