《学会学习和思考》理念技能和学科应用
课程的目的
- 帮助学生掌握理解型学习
- 及其背后的思维来解决问题的习惯和意识
- 系联性思考
- 批判性思维
- 学科大图景
- 知识的层次和上下左右贯通
- 概念地图有助于更好地体会到这些思维
课程口号
- 教的更少，学得更多，Teach Less, Learn More
- 学习更少，学到更多，Study Less, Learn More
- 透彻联系，看到整体，那个有意义的整体
- See through connections to find the whole that makes sense to you
主要内容
- 课程基本信息
- 动机篇
- 理念篇
- 技能篇
- 学科篇（做中学）
课程基本信息
课程主要内容
动机篇
- 学习是为了
- 创造知识
- 创造性地使用知识
- 欣赏知识的创造和创造性地使用
- 而不是为了重复性地使用知识，甚至记忆和检索事实性程序性知识
学习的目的
教学的目的
创造和知识生成器
理念篇
- 学科知识之间有联系
- 例如，几何定义、公理、定理构成的系统
- 例如，物理概念之间的关系
- 研究对象、思维方式、分析方法、学科知识之间有关系
核心理念之知识层次和网络
- 知识的层次
- 第一层：事实性程序性知识
- 第二层：学科概念
- 第三层：学科大图景，尤其是学科思维
- 第四层：一般性人类思维，系联性思考、批判性思维、成长型思维、理解型学习
核心理念之学科大图景
- 典型研究对象
- 典型研究问题
- 典型思维方式
- 典型分析方法
- 和世界还有其他学科的关系
- 尽可能往高处走，有方向感，看到整体
核心理念之从联系到系联
- 从整体更容易理解个体
- 看到整体需要看到个体之间的联系
- 概念地图知识观：只有通过关系才有自身含义
- 往往从少数几条基本的就能建立整个知识体系
核心理念：上下左右贯通和创造
- 上下联系：上层生成下层，上层来自于对下层的抽象和总结，分解和综合
- 左右联系：同层内知识也具有相互依赖的关系
- 左右联系：不同领域知识或者对象之间的联系，类比
- 所谓跳出盒子，就是尽量往上走，然后跨领域迁移创造
核心理念小结
- 系联性思考：联系的普遍性，意义来自于联系，层次性联系和跨越层次的联系
- 批判性思维：每一条联系本身都需要经过你自己的理性的考验
- 上下左右贯通：高、深、宽
- 学习、创造、使用知识，提出和解决问题
- 人类知识高速公路上以高层知识生成器为目标的“理解型学习”
理解型学习小结
- 依靠想明白（批判性地联系）来学习
- 学习到的标准是想明白（批判性地联系）
- 哦，这样啊，aha moment
休息，休息一下
辅助这些理念实现和落地的工具
- 概念地图或者说概念网络
- 概念网络上的分析计算实验研究（正在开展中）
什么是概念地图：概念
- 概念是可以用于交流的指代明确的符号（词汇、语言等形式）
- 加法就是“把两个东西在某种单位下的数量合起来数一数的那个操作”
什么是概念地图：概念关系
- 一个概念系统通常存在一个最基本概念的集合
- 如，数学或者科学的概念体系
- 自然语言，也存在最基本的字、部件、词汇
- 上下层关系是基本的普遍的
- 用好上下层关系大大降低认知负担
什么是概念地图：概念关系
- 往往不同层、甚至不同领域、学科的概念之间有联系
- 这些联系，表现为定理、定律
- 不同领域、学科之间的迁移表现为创造
- 代数几何分析的融合
- 数学和物理的相互启发
- 因此，跨越层次的联系是非常重要的
什么是概念地图
- 概念、连词、焦点问题及aha moment
帮助作图的术
- WHWM四问
- What，说了什么
- How，怎么说的
- Why，为什么说这个，为什么这样说
- Meaningful，我觉得怎么样 -不断地分解和综合
- 任意一对概念之间有什么关系
- 这个关系是否有助于回答焦点问题
- 这个关系是否由更基本的东西生成
概念地图的优势
- 层次结构明显
- 长程连接更容易看到
- 于是，促进上下左右贯通
概念地图小结
- 概念（名词）用连词（动词介词）相连
- 回答焦点问题，“哦，这样啊”
- WHWM四问
- 不断地追问关系：层次性和跨越层次的
- 概念地图有优势：上下左右贯通、主动型
休息，休息一下
概念地图的应用
- 理解个体的概念
- 指导个体学习者
- 课程、课程体系设计
- 科学研究
概念地图举例：历史
- aha moment：“因地制宜”帮助解答历史题
概念地图举例：物理
- aha moment：速度是瞬时量，极限
概念地图举例：语文
- aha moment：秉是一手拿着一个禾苗，两个呢？
汉字网络和理解型学习
汉字学习顺序算法
- 已知汉字之间的直接联系（$i$是$j$的部件）矩阵$a^{i}_{j}$
- 定义$A$的列归一化（对行求和等于1）的矩阵$\tilde{A}$
- 求解逆矩阵，其中$W$是使用频率，$\tilde{W}$是学习顺序 \begin{equation} \tilde{W}= \left(1-\tilde{A}\right)^{-1}W= W + \tilde{A}W+\tilde{A}^{2}W+\tilde{A}^{3}W + \cdots \end{equation}
- 考虑了汉字的使用频率、直接构成字的数量（度）、是否参与构成了很多层汉字
汉字学习顺序
- 成本-累计字数，成本-累计频率
汉字研究的例子
- 高效学习顺序，甚至个性化
- 自适应诊断性检测算法
- 甚至决定教什么学什么，而不仅仅怎么学
- 向上走到一般性的教和学
- 左右迁移到其他学科
概念地图举例：数学
- 理解到乘法和加法的关系，也就是乘法是重复加法的简便计算和记号，来学习乘法
概念地图举例：数学
- 进一步体会到知识的层次和系统性
用于课程设计的例子：小学数学概貌
例子的小结
- 概念地图就是概念通过连词相连用来回答焦点问题
- 层次性联系是主体，准备好迁移
- 跨越层次的联系是关键，启发迁移创造
- 概念地图可以用在不同的层次
休息，休息一下
Lynkage使用一秒钟辅导
- 双击建立概念
- 拉出箭头出现连词和另一个概念
- 完毕。其他的都是锦上花而已
概念地图制作技能训练
- 分成三人小组
- 自选问题，问题最好超越事实性程序性知识
- 绘制概念地图，查阅资料、讨论
- 分组辅导
- 小组报告和反馈
概念地图培训概览
小结
- 核心理念
- 系联性思考：联系普遍存在，用好了可以更好地提出和解决问题，学习创造和使用知识
- 批判性思维：也要批判性考察
- 上下左右贯通促进创造
- 概念地图可以帮助这些理念落地
概念地图作图训练
- 焦点问题
- 概念
- 连词
- 系联性思考
- 批判性思维
- 层次性连接和跨层次连接
- aha moment，“哦，原来这样”
理念和技能小结
- 系联性思考：联系，网络，层次性，上下左右贯通
- 批判性思维：每一条联系本身都需要经过你自己的理性的考验
- 学习、创造、使用知识，提出和解决问题
- 人类知识高速公路上以高层知识生成器为目标的“理解型学习”
- 概念地图辅助这些典型思维方式的理解和运用
- 下一步，做中学，教中学
休息，休息一下
理解型教和学
- 确定这个学科的大图景
- 尤其是思维方式
- 和世界还有其他学科的关系
- 画出来学科知识高速公路
- 低层和高层知识
- 上下和左右贯通
- 选择概念（结合其创造）和联系来体现学科大图景
学科模块
- 数学学什么怎么学
- 语文学什么怎么学
- 科学学什么怎么学
- 科学（物理学）大图景
- 经典力学
- 量子力学
数学学什么
- 数学是思维的语言
- 明确
- 可计算
- 数学是描述世界的语言
- 数学知识的系统性
- 数学四步
- 数学四问
- 证明和计算的作用
数学怎么学
- 创造体验式学习
- 从经验和现象中提炼概念
- 把概念用于解决问题
- 用好概念之间的关系
数学怎么学
- 做中学、用中学
- 随时注意提升层次
- 从经验到概念
- 从概念到学科思维
- 从学科思维到一般思维
- 以及反过来，从高层到低层
数学学什么怎么学
- 用数学的眼光看世界
- 从用数学的眼光看世界中学会数学
数学四步
- 提出问题
- 把问题数学化
- 求解问题
- 检验、推广、系统化
数学四问
- What：有哪些因素
- How：如何相联系，联系如何用数学描述
- Why：为什么有这个联系，为什么用这样的数学描述
- Meaningful：问题解决了吗，还有什么其他的角度，可以总结出什么
数学是什么的名言
- 数学就是给不同的东西相同的名字
- 数学就是你需要它的时候就创造出来的东西
- 数学就是看到相似性，相似性的相似性，…
数学推荐阅读材料
- Gamow （伽莫夫）《从一到无穷大》
- Gowers （高尔斯） 《牛津通识读本——数学》
- 吴金闪 《小学数学这样学》及其中的推荐阅读材料
从白马非马看数学建模
- 白马非马的含义
- 白马非马的数学表达
- 哪里体现了数学建模
白马非马的含义
- 白马的整体不等于马的整体，对
- 白马不是马的一种，错
- 一匹白马不是马的一匹，错
白马非马的数学表达
- $\left\{WH\right\}\neq \left\{H\right\}$，对
- $\left\{WH\right\}\not\subset \left\{H\right\}$，错
- $WH \not\in \left\{H\right\}$，错
白马非马哪里体现了数学建模
- 数学是思维的语言
- 数学建模就是把自然语言所表达的思考转化为数学表达式
- 只有把意思说明白才有对还是错
数学公式能说话
- 一个在行走的车的速度随时间的变化$\vec{v}\left(t\right)$已知
- 对比$\int \vec{v}\left(t\right)dt$, $\int v\left(t\right) dt=\int \left|\vec{v}\right|\left(t\right) dt$
- 看看$\frac{\int \vec{v}\left(t\right) dt}{\int v\left(t\right)dt}$的含义
- 那$\int \dot{\vec{v}}\left(t\right) dt$和$\int \left|\dot{\vec{v}}\right|\left(t\right) dt$的含义呢？
- $\frac{\int \dot{\vec{v}}\left(t\right) dt}{\int \left|\dot{\vec{v}}\right|\left(t\right) dt} $呢？
数学公式能说话
- 位移，路程
- 效率
- 速度差，加速过程累计（晕车）
- 加速效率
从数学公式和语言看数学
- 数学就是在数学公式和语言之间做翻译
- 有思想和思考，表达为数学公式
- 有现实世界，描述为数学结构
- 有数学结构，找到对应的思想和思考以及现实的含义
从七桥问题看数学
- 哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题
- 欧拉（Euler）的回答
- 图论和网络
- 哪里体现了数学
哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题
- 哥尼斯堡有七座桥联通着四块陆地
- 有一个很闲的人，希望在散步的时候把每座桥都走并且只走一遍，请问他要怎么走
欧拉（Euler）的回答
- 在每一块陆地之内怎么散步跟这个问题没关系
- 把每个区域看做一个点
- 再留下每一对区域之间有几座桥这个信息
欧拉（Euler）的回答
- 可以一笔画，则除了开始和结束的点，其他顶点必须经过偶数次
- 度的概念
- 可以有$0$个或者$2$个度为奇数的顶点
- 计算一下每个顶点的度：$3$、$5$、$3$、$3$，不能
欧拉（Euler）的回答
- 忽略掉大量的细节
- 只保留顶点和连边
- 计算度
- 得到定理
图论和网络
- 这个包含顶点和连别的数学对象进一步发展成为网络
- 研究这个对象的学科发展成为图论和网络
- 在大量的问题中，往往仅仅考虑事物之间是否有联系，就包含了很多的信息
七桥问题哪里体现了数学
- 简化掉“不重要”（？）的细节
- 重要与否看问题是否解决
- 数学和数学建模，建模中提出新数学结构
- 发展成为新的学科分支
休息，休息一下
语文学什么怎么学
- WHWM分析性阅读和分析性写作
- 分解和综合
- 同时，形成接受和表达的意愿和习惯
语文学习的根本目的
- 有自己的思想和思考，想表达，可以表达
- 有别人的思想和思考，想搞懂，可以搞懂
WHWM分析性阅读
例子的小结
- 概念地图就是概念通过连词相连用来回答焦点问题
- 层次性联系是主体，准备好迁移
- 跨越层次的联系是关键，启发迁移创造
- 概念地图可以用在不同的层次
口诀式教育
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科学（物理学）模块大纲
- 物理学的学科大图景
- 物理学家的物理学史
- 量子系统的行为和可计算心智模型
- 回到物理学甚至科学的学科大图景
物理学的学科大图景
- 典型研究对象：自然界中无生命的那些？有生命的呢，有思维的呢？社会呢？
- 典型研究问题：状态，状态的变化，变化的原因，往往需要看结构
- 典型研究方法：概念建模（抽象提炼）和数学建模、计算、实验
- 典型思维方式：分解和综合，力学世界观，批判性思维
- 和世界还有其他学科的关系：所有科学的基础，启发和应用数学
Russell谈哲学神学和科学
- 科学是既讲道理（可计算）又可检验的
- 哲学是讲道理但是不可检验的
- 神学是既不讲道理又不可检验的
- （吴金闪补充的）数学是讲道理但是不屑于检验的
物理学家的物理学史
- Aristotle之前，物理和哲学不分家，形而上和形而下不分家
- 数学是思辨的形式化，也受现实启发（不受其约束），Plato, Euclid
- Aristotle，物理学研究形而下，也就是可以“看到的”“物质的”世界
- 可惜具体规律（重物落得更快，力是维持物体运动的原因）基于生活经验猜的，都是错的
物理学家的物理学史
- Galileo：所谓的“物质的”的意思是可以做测量做实验
- Galileo做了地面上的运动实验和规律的初步探索，光滑程度和力
- Galileo的理想实验
物理学家的物理学史
- 地心说，基于生活经验猜的，很自然，模型越来越复杂
- Ptolemy等人的地心说仍然在尽可能地提供可计算的可检验的模型
- Kopernik的日心说
- Descartes系统地总结了批判性思维
物理学家的物理学史
- Tycho Brahe获得天体运动的数据
- Kepler总结的数据规律
- 猜想、观测、计算、简单性
物理学家的物理学史
- Newton把地上的运动用力和运动的关系（也就是$\vec{F}=m\vec{a}$）来描述
- Newton继续追问，天上的运动是不是这个描述也能用
- 从而提出了微积分和万有引力定律
- 建模、计算、统一性、数学和物理的关系
Newton力学
- 时间$t$和空间位置$\vec{r}$是可测量，并且和物体的运动状态无关
- 运动物体的状态由空间矢量$\vec{r}$描述，因此任一时刻有$\vec{r}\left(t\right)$
- 用导数定义速度$\vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{r}$，加速度
- 以及反过来用积分从速度的得到位置
- 物体之间的相互作用由力$\vec{F}$（可以是位置的函数）描述
Newton力学
- Newton把地上的运动用力和运动的关系（也就是$\vec{F}=m\vec{a}$）来描述
- 这是封闭的微分方程
Newton力学
- 有些对象的状态和状态变化过程启发我们思考还有其他的影响他们状态的东西，发现天体
- 有的时候也启发我们思考这些对象具有内部结构，例如不倒翁、陀螺
- 物理学家进一步不断地把一个个对象打开
- 希望了解了内部之后，重新合起来可以更好地了解上层结构
- 称为分解和综合
- 有的时候合起来会得到非平庸的结果，称作涌现，以后再说
Newton力学的总结
- 绝对时空观
- 物体状态由空间矢量$\vec{r}$描述
- 物体间相互作用由力$\vec{F}$描述
- 物体运动由矢量方程$\vec{F}=m\vec{a}$描述
- 必要的时候纳入更多内部或者外部因素，分解和综合
物理学家的物理学史，总结
- 批判性思维
- 基于生活经验猜测不可靠
- 需要依靠建模、计算和实验
- 不断地追求系统化统一化是重要推动力
- 力学的世界观：状态怎么描述，是否变化，变化原因是什么
- 分解和综合是其典型的思维方式
物理学家的物理学史，总结
- 具体的Newton力学的知识可以保留或者扬弃
- 研究对象上的限制也可以突破
- 但是，思维方式和分析方法这些更高层的知识生成器，已知还管用
- 顺便，科学不回答其理论为什么管用
休息，休息一下
量子系统的行为和心智模型
- 我们试试把知识和思维都迁移到描述量子系统的行为
- 先来搞清楚行为
- 再来试试用一下Newton力学，或者其他模型
- 看看到底突破了哪些概念和思维
乒乓球过三道门
- 两种颜色的乒乓球
- 两种颜色的门，允许同种颜色的过，挡住不同颜色
- 一道门、两道门、三道门的现象
- 这些现象背后的心智模型：纯或者伪随机的球，$\rho=\frac{1}{2}\left|W\right\rangle\left\langle W\right|+\frac{1}{2}\left|Y\right\rangle\left\langle Y\right|$
绳子上的波和三道门
- 两个方向振动的波
- 两个方向的门，狭缝允许同方向的过，挡住垂直方向的振动
- 一道门、两道门、三道门的现象
绳子上的波和三道门
绳子上的波和三道门
绳子上的波和三道门
- 这些现象背后的心智模型：Newton力学
- 相对运动相互拉扯
- 矢量分解和叠加，$\vec{r}=r_{x}\hat{i}+r_{y}\hat{j}$
光子过三个偏振片
- 光子之间的联系忽略不计，像乒乓球
- 两个方向的振动状态：H,V
- 两个方向的偏振片，内部方向允许同方向的过，挡住垂直方向的振动
光子过三个偏振片
- 一个两个三个偏振片的现象，像波
- 这些现象背后的心智模型：Newton力学？
光子的可计算心智模型
- 实体上，像乒乓球一样一个个的，独立的
- 数学上，像波，矢量分解和叠加，$H$态“加上”$V$态是一个态
- 用波的方式描述的单个个体
- 例如，$\rho=\left|\psi\right\rangle\left\langle \psi\right|$, $\left|\psi\right\rangle = \psi_{H}\left|H\right\rangle+\psi_{V}\left|V\right\rangle$
光过玻璃的实验
- 光经过相机的镀膜层镜头之后，反射会减少
- 其解释必须让第一次反射光和第二次反射光相互抵消，注意经典力学范围内这两次反射不能同时发生
光子双缝干涉实验
- 把光看做经典波，两个小缝当光源，经典波相加，相位差异，可以解释干涉现象
- 实际上，可以用单光子做实验，现象还是如此，怎么解释？
- 按照经典概率，不能解释干涉，只能概率相加，不会完全变暗
- 同样要求经典力学范围内完全不能同时发生的两件事做“矢量相加”
光子双缝干涉实验
光子现象和模型，总结
- 量子的行为要求量子状态的数学描述满足“矢量加法”
- 经典随机状态的“矢量加法”不存在，例如猫的“死+活（$\psi_{d}\left|d\right\rangle+\psi_{a}\left|a\right\rangle$）”不是一个态
- 仅仅概率组合$\rho=P_{d}\left|d\right\rangle\left\langle d\right|+P_{a}\left|a\right\rangle\left\langle a\right|$是一个经典态
光子现象和模型，总结
- 只要允许经典力学范围内完全不能同时发生的两件事做“矢量相加”，就能描述
- 例如，$\rho=\left|\psi\right\rangle\left\langle \psi\right|$, $\left|\psi\right\rangle = \psi_{H}\left|H\right\rangle+\psi_{V}\left|V\right\rangle$
- 这个描述人类的大脑能理解吗？什么是理解？
学习量子部分的总结
- 有模型，算出来，能通过检验，就是科学
- 如果还能系统化一点，就更好了
- 或者说，理解就是建立模型、算出来、通过实验检验
- 建模型和计算，都需要数学
- 人类的大脑是否能理解不是问题
- 科学不回答为什么这个模型是对的
科学和数学
- 数学是思维的语言，是描述世界的语言
- 科学不过就是建模型、算出来，通过实验检验
- 也就是说，科学不过就是讲道理
- 通过建模、计算（包含推理）、做实验来讲道理
回到科学的大图景
- 科学的知识，也就是讲道理的结果，可能会经常变，不是学习科学的真正的目的
- 科学的知识，不是学习科学的真正的目的
回到科学的大图景
- 科学不过就是通过建模、计算（包含推理）、做实验来讲道理
- 科学的研究对象从传统物理学走向任何能够用这个方法讲出来道理的东西
- 科学的思维方式和分析方法是学习科学真正的目的
- 建模、计算（包含推理）、做实验
- 分解和综合
- 系统化，追求统一
休息，休息一下
回到理解型学习
- 选定一个学科，制定学习目标，一两句话
- 围绕目标，明确学科大图景
- 梳理学科知识网络
- 选择最少量的知识来帮助学习者（或者自己）体会好学科大图景
- 甚至到一般性人类思维、教和学的方法
致谢和提问
- 感谢您的时间，建议和意见
- 带回家的消息：
- 概念地图和理解型学习对学习、使用和创造知识非常有用，去用起来
- 科学不过就是通过建模、计算（包含推理）、做实验来讲道理
- 做一个学习到学科大图景的学习者
更多学习材料
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- 教育系统科学研究中心网站
- “为了理解而教和学”公众号
